Théorème de prolongement de Dungundji

Le théorème de prolongement de Dungundji est un théorème de topologie générale dû au mathématicien américain James Dugundji[1],[2],[3]. Il est directement lié au théorème de Tietze-Urysohn — sur le prolongement des applications continues dans les espaces normaux — dont il est, en un certain sens, une généralisation[4].

ÉnoncéModifier

Soient X un espace métrisable, A un fermé de X et L un espace localement convexe. Alors :

ou, ce qui est équivalent :

  • toute application continue de A dans un convexe K de L admet un prolongement continu de X dans K[8].

Comparaison avec le théorème de Tietze-UrysohnModifier

La première version du théorème de prolongement de Tietze correspondait au cas particulier du théorème ci-dessus où l'espace L est la droite réelle. Elle a été généralisée par Urysohn en remplaçant l'espace métrisable X de départ par n'importe quel espace normal[9]. Le théorème de prolongement de Dugundji est une généralisation transverse, qui remplace l'espace ℝ d'arrivée par n'importe quel espace localement convexe[4]. Il existe une autre généralisation du théorème de Tietze, en supposant que l'espace X de départ est paracompact et que l'espace L d'arrivée est de Banach[10].

DémonstrationModifier

Pour une distance d fixée sur X, considérons, dans l'ouvert X\A, le recouvrement constitué des boules ouvertes B(x, d(x, A)/2) de X\A, quand x parcourt cet espace.

Puisque tout espace métrique est paracompact, il existe un recouvrement ouvert localement fini (Ui)iI de X\A dont chaque ouvert est inclus dans l'une de ces boules : UiB(xi, d(xi, A)/2).

On choisit alors une partition de l'unité (ϕi)iI subordonnée à ce recouvrement et pour tout i, un point ai de A tel que d(xi, ai) ≤ 2d(xi, A), et l'on prolonge f en posant :

 

L'application F est clairement continue sur X\A. Montrons[3] qu'elle l'est aussi en tout point a de A. Pour tout voisinage convexe C de f(a), il existe un réel δ > 0 tel que f(B(a, δ)∩A) ⊂ C. Pour affirmer que pour tout xB(a, δ/6)\A, f(x) ∈ C (ce qui conclura), il suffit d'utiliser que pour tout Ui contenant x, aiB(a, δ), d'après les inégalités suivantes :

d(x, ai) ≤ d(x, xi) + d(xi, ai) ≤ d(x, xi) + 2d(xi, A) ≤ 5d(xi, A) – 5d(x, xi) ≤ 5d(x, A), d'où

d(a, ai) ≤ d(a, x) + d(x, ai) ≤ 6d(a, x).

Notes et référencesModifier

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Fortsetzungssatz von Dugundji » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) J. Dugundji, « An extension of Tietze's theorem », Pacific J. Math., vol. 1,‎ , p. 353-367 (lire en ligne).
  2. (en) Czesław Bessaga et Aleksander Pełczyński, Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology, Warszawa, , p. 57 et s.
  3. a et b (en) Andrzej Granas et James Dugundji, Fixed Point Theory, Springer, , 690 p. (ISBN 978-0-387-00173-9, lire en ligne), p. 163-164.
  4. a et b (de) Karl Heinz Mayer, Algebraische Topologie, Birkhäuser, , 279 p. (ISBN 978-3-7643-2229-8, lire en ligne), p. 56.
  5. Dugundji 1951, p. 357.
  6. (en) Karol Borsuk, Theory of Retracts, Warszawa, PWN, , p. 77-78.
  7. Mayer 1989, p. 54, 56.
  8. (en) James Dugundji, Topology, Allyn & Bacon, , 447 p. (ISBN 978-0-697-06889-7, lire en ligne), p. 189.
  9. (de) Horst Schubert (en), Topologie, Stuttgart, Teubner, , 4e éd. (ISBN 978-3-519-12200-5), p. 83.
  10. Dugundji 1951, p. 360.

Article connexeModifier

Extenseur absolu