Théorème de la médiane

relation entre le carré de la médiane et les carrés des côtés d'un triangle

En géométrie euclidienne, le théorème de la médiane, ou théorème d'Apollonius, désigne l'une des trois identités suivantes[1], sur des distances et des produits scalaires, dans un triangle ABC de médiane AI et de hauteur AH :

Mediane.svg

Premier théorème de la médiane ou théorème d'ApolloniusModifier

Théorème d'Apollonius — Soient (ABC) un triangle quelconque et AI la médiane issue de A. On a alors la relation suivante :   ou encore :  

Ce théorème est une reformulation de l'identité du parallélogramme.

Démonstration par le produit scalaireModifier

Cette propriété est un cas simple de la réduction de la fonction scalaire de Leibniz : il suffit de faire intervenir le point I dans les deux vecteurs   et  , par la relation de Chasles :   On développe :   Le point I est milieu de [B, C], donc   et   sont opposés, ce qui implique que les produits scalaires s'éliminent et IC2 = IB2 donc  

Démonstration n'utilisant que les théorèmes sur les distancesModifier

Une autre méthode, probablement celle d'Apollonius[réf. nécessaire] (donc non vectorielle), est la suivante.

Soit H le pied de la hauteur issue de A. Les trois triangles AHB, AHC et AHI sont rectangles en H ; en leur appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :

 

On en déduit :

 

On exprime HB et HC en fonction de HI et BI. Quitte à intervertir B et C si nécessaire, on peut toujours supposer que B et H sont du même côté de I. Alors,

 

On peut donc transformer, dans l'expression ci-dessus de  , la sous-expression  

En remplaçant, on obtient :  

Généralisation à toute cévienneModifier

La démonstration ci-dessus par le produit scalaire se généralise, ce qui permet de démontrer :

Soient (ABC) un triangle, J un point de ]B, C] et k = JC / JB. Alors :

 

Deuxième théorème de la médianeModifier

Deuxième théorème de la médiane — Soient (ABC) un triangle et I le milieu du segment [B, C]. Alors  

La démonstration utilise la même décomposition des vecteurs   et   que ci-dessus :  

Théorème de la médiane pour un triangle rectangleModifier

Il existe un cas particulier relatif au triangle rectangle.

Théorème de la médiane[2]Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue du sommet de l'angle droit vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Ce théorème possède une réciproque.

Réciproque du théorème de la médiane[2]Si dans un triangle, la longueur de la médiane issue d'un sommet vaut la moitié de la longueur du côté opposé, alors ce triangle est rectangle en ce sommet.

Troisième théorème de la médianeModifier

Troisième théorème de la médiane —  Soient (ABC) un triangle et I le milieu du segment [B, C]. On note H le projeté orthogonal de A sur (BC). Alors  

Plus précisément :  BC et IH désignent des mesures algébriques par rapport à un même vecteur directeur unitaire de la droite (BC). Il suffit d'utiliser le produit scalaire et les identités remarquables :   La projection de   sur (BC) est   d'où  

Notes et référencesModifier

  1. Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie : Préparation au CAPES et à l'agrégation, Publibook, (ISBN 978-2-74834139-3, lire en ligne), p. 185.
  2. a et b COJEREM, Géométrie en situations : 1re/4e notions pour l'élève, De Boeck, (ISBN 978-2-80412230-0, lire en ligne), p. 191-192.

Voir aussiModifier

Théorème de Stewart