Théorème de différentiation de Fubini

En mathématiques, le théorème de différentiation de Fubini est un résultat d'analyse réelle, attribué à Guido Fubini, selon lequel toute série de fonctions croissantes qui converge est presque partout dérivable terme à terme.

ÉnoncéModifier

Si, pour tout entier naturel n,

 

est une fonction croissante et si

 

alors, pour presque tout x ∈ [a, b],

 

DémonstrationModifier

On utilise ici que toute fonction monotone est dérivable presque partout.

On[1],[2] se ramène sans peine au cas où toutes les fn sont positives (en retranchant à chacune sa valeur en a) et où

 

(en regroupant des termes consécutifs de la série).

La somme g des fonctions croissantes gn définies par

 

est alors finie (positive et majorée par 2) et l'on a, presque partout :

 

Cas d'une fonction de sautModifier

Le cas particulier suivant n'utilise pas le théorème de dérivabilité presque partout des fonctions monotones et peut, au contraire, servir de lemme pour ce théorème[3],[4]. Il s'agit du cas où f est une « fonction de saut », c'est-à-dire où chaque fn est de la forme :

  •   si  
  •   si   et
  •  

Avec les notations de la section précédente, on déduit en effet directement de l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood que

 

D désigne la dérivée supérieure de Dini (bilatérale). Or, presque partout,

 

Par conséquent,

 

Notes et référencesModifier

  1. (en) Lee Peng Yee et Rudolf Vyborny, Integral : An Easy Approach After Kurzweil and Henstock, CUP, , 311 p. (ISBN 978-0-521-77968-5, lire en ligne), p. 145
  2. (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover, , 2e éd., 341 p. (ISBN 978-0-486-66509-2, lire en ligne), p. 235-236
  3. (en) Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, AMS, (lire en ligne), p. 129-135
  4. (en) R. P. Boas, Jr., « Differentiability of jump functions », Colloquium Mathematicum, vol. 8, no 1,‎ , p. 81-82 (lire en ligne)