Théorème de Weierstrass-Casorati

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass-Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d'une singularité essentielle d'une fonction holomorphe. Il est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Karl Weierstrass et Felice Casorati.

ÉnoncéModifier

Théorème de Weierstrass-Casorati — Soit   une fonction holomorphe sur un disque   épointé (c'est-à-dire privé de son centre) avec une singularité essentielle en   (voir plus bas la définition d'une singularité essentielle).

Alors, pour tout   inclus dans  , l'ensemble   est dense dans ℂ.

Ainsi pour tout   inclus dans   et pour tout   appartenant à ℂ, il existe une suite   de   telle que   tend vers  .

Remarque : on dit qu'une fonction analytique complexe admet un point singulier essentiel en   lorsque le développement en série de Laurent admet une infinité de termes de la forme  . Si le développement n'a qu'un nombre fini de termes de cette forme, le point   est un pôle de degré égal à la plus grande puissance de   (cas le plus fréquent). Il existe un autre type de singularité à ne pas confondre avec la singularité essentielle, le point de branchement: il existe alors dans le développement autour de a soit un terme logarithmique soit des puissances non entières.

Le grand théorème de Picard a complété le théorème de Weierstrass-Casorati en précisant qu'une telle application prend une infinité de fois toutes les valeurs de ℂ sauf peut être une. La démonstration du théorème de Picard est bien plus difficile que celle du théorème de Weierstrass-Casorati.

ExemplesModifier

 
Tracé du module de la fonction  . La fonction possède une singularité essentielle en  . On peut observer que même en étant très près de 0 le module peut prendre toutes les valeurs positives excepté 0
  • La fonction   définie sur ℂ* possède une singularité qui n'est pas essentielle en   (c'est en fait un pôle d'ordre 1). On peut remarquer que   quand   et la fonction   ne vérifie donc pas le théorème de Weierstrass-Casorati.
  • La fonction définie pour tout   par :
     
    possède une singularité essentielle en  .
    En posant   on a   les courbes de niveaux de   vérifient donc des équations du type    est une constante, les courbes de niveaux de   sont donc des lemniscates de Bernoulli.

Une applicationModifier

L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des méthodes qui permettent de montrer que les seuls automorphismes biholomorphes de ℂ sont des applications   du type   avec  .

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Lien externeModifier

[PDF] Analyse Complexe – Séries de Fourier, cours de Ernst Hairer et Gerhard Wanner, de l'université de Genève