Théorème de Vaschy-Buckingham

En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham[1],[2], ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu variables sans dimension construites à partir des variables originelles.

Bien que nommé d'après les physiciens Aimé Vaschy et Edgar Buckingham, ce théorème a d'abord été démontré par le mathématicien français Joseph Bertrand[3] en 1878.

Énoncé de Vaschy[1]Modifier

Soient  ,  ,  ,…  des quantités physiques, dont les   premières sont rapportées à des unités fondamentales distinctes et les   dernières à des unités dérivées des   unités fondamentales (par exemple   peut être une longueur,   une masse,   un temps, et les   autres quantités  ,  ,…  seraient des forces, des vitesses, etc.; alors  ). Si entre ces   quantités il existe une relation :

 

qui subsiste quelles que soient les grandeurs arbitraires des unités fondamentales, cette relation peut se ramener à une autre en   paramètres au plus, soit:

 

les paramètres  ,  ,…  étant des fonctions monômes de  ,  ,…  (c'est-à-dire  , avec  ).

ExempleModifier

En dynamique des fluides, la plupart des situations dépendent des dix quantités physiques suivantes :

l   Longueur
D   Diamètre
ε   Longueur de rugosité
V   Vitesse du fluide
ρ   Masse volumique du fluide
Δp   Différence de pression
g   Accélération de la pesanteur
μ   Viscosité dynamique ou absolue
σ   Tension de surface
K ou Ev   Compressibilité

Ces dix quantités sont définies à travers trois dimensions, ce qui permet de définir 10-3=7 nombres sans dimension indépendants. Les variables qui apparaîtront le plus probablement comme dimensionnantes sont V, ρ, et l, qui seront donc pour cette raison choisies comme nouvelles grandeurs de base.

On en déduit les nombres sans dimension qui en dépendent :

 , coefficient de pression
 , nombre de Froude
 , nombre de Reynolds
 , nombre de Weber
 , nombre de Mach
 , rapport longueur/diamètre
 , rugosité relative.

Démonstration de Vaschy[1]Modifier

Pour démontrer le théorème précédemment énoncé, remarquons que les quantités  ,  ,…  étant rapportées à des unités dérivées, cela revient à dire que l'on peut trouver des exposants  ,  ,…  ,  … tels que les valeurs numériques des rapports

 

soient indépendantes des valeurs arbitraires des unités fondamentales. (Ainsi  ,  ,  ,   désignant respectivement une longueur, une masse, un temps et une force, le rapport  , par exemple, aurait une valeur indépendante du choix des unités). Or, la relation:

 

peut s'écrire:

 

Mais, en faisant varier les grandeurs des unités fondamentales, on pourra faire varier arbitrairement les valeurs numériques des quantités  ,  ,…  , dont les grandeurs intrinsèques sont supposées fixes, tandis que les valeurs numériques de  ,  ,…   ne changeront point. La relation précédente devant subsister quelles que soient les valeurs arbitraires de  ,  ,…  , doit être indépendante de ces paramètres; cette relation prend ainsi la forme la plus simple:

 

Généralisation[4]Modifier

Dans l'énoncé de Vaschy, les   premières grandeurs doivent être rapportées à des unités fondamentales distinctes. La généralisation consiste simplement à considérer que les   premières grandeurs sont dimensionnellement indépendantes, i.e. les dimensions de ces quantités ne peuvent être écrites comme une fonction monôme des dimensions des autres quantités. Par exemple, prenons 4 grandeurs physiques, une densité volumique  , une aire  , une vitesse   et une accélération  . Les variables  ,   et   sont dimensionnellement indépendantes ; par contre les variables  ,   et   ne le sont pas, car  .

Origine du nom « Théorème Π »Modifier

Ce théorème est aussi nommé Théorème Π car il est d'usage en physique d'utiliser la lettre Π pour les variables physiques adimensionnelles qui ne sont pas baptisées comme le sont les nombres de Reynolds, Prandtl ou de Nusselt. C'est ainsi qu'elles sont nommées dans l'article de Buckingham[2].

Exemple d'applicationModifier

Le volume   d'une sphère ne dépend que de son rayon  . Il vérifie donc une équation  .

En unité SI, les 2 variables sont dimensionnées en   et  . L'équation a 2 variables   et   et une seule unité  .

D'après le théorème, il existe une fonction   telle que  , où   est une constante sans dimension.

Pour trouver la fonction  , il faut trouver un couple   tel que  . Soit :  . On peut prendre  

La fonction   s'écrit alors  . On retrouve le résultat   est une constante sans dimension (dont la valeur est  )[a].

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Il en résulte, entre autres, qu’à 5% près, le volume d’une sphère, qu’on travaille en femtomètres ou en années-lumière, est égal à la moitié du cube de son diamètre.

RéférencesModifier

  1. a b et c Aimé Vaschy, « Sur les lois de similitude en physique », Annales Télégraphiques, vol. 19,‎ , p. 25-28.
  2. a et b (en) Edgar Buckingham, « On physically similar systems. Illustrations of the use of dimensional equations », Physical Review, vol. 4, no 4,‎ , p. 345-376.
  3. J. Bertrand, « Sur l'homogénéité dans les formules de physique », Comptes rendus, vol. 86, no 15,‎ , p. 916–920 (lire en ligne).
  4. (en) Grigory Isaakovich Barenblatt, Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics : dimensional analysis and intermediate asymptotics, vol. 14, Cambridge University Press, (ISBN 0 521 43516 1).

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier

BibliographieModifier

(en) Tatjana Misic, Marina Najdanovic-Lukic et Ljubisa Nesic, « Dimensional analysis in physics and the Buckingham theorem », European Journal of Physics, vol. 31, no 4,‎ , p. 893-906 (DOI doi:10.1088/0143-0807/31/4/019).