Ouvrir le menu principal

Théorème de Stampacchia

théorème d'analyse fonctionnell

ÉnoncéModifier

Soient

  •   un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté   (la norme induite étant notée  ).
  •   une partie convexe fermée non vide de  
  •   une forme bilinéaire qui soit
    • continue sur   :  
    • coercive sur   :  
  •   une forme linéaire continue sur  

Sous ces conditions, il existe un unique   de   tel que

 

Si de plus la forme bilinéaire   est symétrique, alors ce même   est l'unique élément de   qui minimise la fonctionnelle   définie par   pour tout   de  , en particulier :

 

DémonstrationModifier

Cas généralModifier

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur   tel que

 

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu   tel que

 

De plus, la norme de A est égale à celle de a, d'où

 

Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente

 

Pour tout réel   strictement positif, c'est également équivalent à

 

Ce qui, en utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, se réécrit

 

  est l'opérateur de projection sur  . Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer que pour un certain  , il existe un unique   qui vérifie l'équation de point fixe   où l'application   est définie par  .

Pour cela, choisissons   de telle façon que   soit une application contractante. Soient   et   deux éléments de  . Comme l'opérateur de projection   est 1-lipschitzien, on a

 

D'où

 

Comme la forme bilinéaire   est coercive, on a  . Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité  . Par conséquent,

 

L'application   est contractante dès que  , c'est-à-dire si on a  . En choisissant un tel   et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique   tel que  , ce qui conclut la démonstration.

Cas symétriqueModifier

Si la forme bilinéaire   est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur  . La coercivité implique que   est définie et positive. On note par   ce produit scalaire qui est défini par :

 

Par application du théorème de Riesz (Attention, pour utiliser le théorème de Riesz, il faut vérifier que l'espace muni du nouveau produit scalaire est bien de Hilbert : procéder par équivalence des normes) sur les formes linéaires, il existe un unique   tel que   pour tout  .

La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :

 

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

 

  est l'opérateur de projection sur   utilisant le produit scalaire défini par  . La relation (1) est donc équivalente à :

 

soit encore

 

ou bien

 ,

ce qui conclut la démonstration.

ApplicationsModifier

BibliographieModifier

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]