Théorème de Sokhotski–Plemelj

Le théorème de Sokhotski–Plemelj en analyse complexe permet l'évaluation d'intégrales de Cauchy. Il a été démontré par Julian Sokhotski en 1873 et redécouvert par Joseph Plemelj en 1908 dans sa résolution du problème de Riemann-Hilbert (en).

Le théorème

Soit C un contour fermé régulier du plan et f une fonction analytique sur C. L'intégrale de Cauchy

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi$

définit deux fonctions analytiques :

- à l'intérieur du domaine défini par C	$\Phi _{+}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi +{\frac {1}{2}}f(z)$
- hors de ce domaine	$\Phi _{-}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi -{\frac {1}{2}}f(z)$

On peut ainsi résoudre les problèmes où l'on impose sur C :

- un saut	$f_{+}-f_{-}=\phi$
- une valeur	$f=\phi$
- une relation du type	$f_{+}=gf_{-}$

Ce dernier cas constitue le problème de Riemann-Hilbert.

Cas particulier

Soit f une fonction à valeurs complexes définie et continue sur l'axe réel, et soient a et b deux valeurs réelles telles que a < 0 <  b. Alors

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx\mp {\frac {1}{2}}f(0)$

Démonstration

On développe :

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx\mp {\frac {1}{2}}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx$

• Dans le premier terme  ${\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}$  est symétrique par rapport à 0, tend vers 1 lorsque  $|x|>>\varepsilon$, vers 0 lorsque  $|x|<<\varepsilon$. La limite est donc la valeur principale de Cauchy.
• Dans le second terme  ${\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}$  tend vers une distribution de Dirac.

Un exemple en physique

En mécanique quantique et théorie quantique des champs on doit évaluer des intégrales du type :

$I=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\,e^{-iEt}\mathrm {d} t\,\mathrm {d} E$

où E est une énergie et t le temps. Cette intégrale en temps ne converge pas et on la remplace par :

$I=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\,e^{-iEt-\varepsilon t}\mathrm {d} t\,\mathrm {d} E$

Par application du cas particulier ci-dessus du théorème

$I=-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i\,\mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,$

Références

• (en) N. I. Muskhelishvili, Singular Integral Equations : Boundary Problems of Functions Theory and their Applications to Mathematical Physics, Wolters-Noordhoff, 1972, 441 p. (ISBN 90-01-60700-4)
• (en) Peter Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, Volume 3 : Discrete Fourier Analysis, Cauchy Integrals, Construction of Conformal Maps, Univalent Functions, Wiley, 1993, 656 p. (ISBN 978-0-471-58986-0, lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sokhotski–Plemelj theorem » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

• Transformée de Hilbert