Théorème de Routh

En géométrie euclidienne, le théorème de Routh donne le quotient des surfaces entre le triangle formé par 3 droites issues des 3 sommets d'un triangle donné.

ÉnoncéModifier

Soit un triangle ABC. Trois céviennes issues des trois sommets coupent les côtés opposés en D, E, F, et découpent un triangle PQR.

Si l'on pose :  ,  ,  , alors l'aire du triangle PQR est donnée par la formule :  

DémonstrationModifier

On applique le théorème de Ménélaüs au triangle ABD, coupé par la droite CF :  . D'où  .

L'aire du triangle AQC vaut  

Par permutation circulaire, on obtient   et   .

L'aire du triangle PQR vaut donc :  

Ou encore  

OrigineModifier

Ce théorème est nommé en référence à Edward Routh, mathématicien anglais, professeur à l'université de Cambridge, plus connu pour ses travaux sur la stabilité des systèmes d'équations différentielles (le critère de Routh-Hurwitz[1]).

Routh donne ce théorème en 1891 dans A Treatise of Analytical Statics[2], puis le reprend dans son édition de 1896[3], édition plus répandue à laquelle les mathématiciens se réfèrent.

Cependant, ce problème apparaît dès 1879 dans Solutions of the Cambridge Senate-House Problems and Riders for the year 1878[4], recueil d'exercices et de problèmes mathématiques destiné aux étudiants de Cambridge. La correction, donc la preuve du théorème, est due à J. W. L. Glaisher[5].

Autres démonstrationsModifier

Ce problème a donné lieu à de nombreuses démonstrations, dont on trouvera des exemples et une bibliographie dans l'article de Murray S. Klamkin et A. Liu " Three more Proofs of Routh's Theorem" dans Crux Mathematicorum[6], , pages 199 et suivantes.

En 2011, Ayoub B. Ayoub publie une nouvelle preuve dans l'article "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum [7]44 (1) : p 24-27.

Notes et référencesModifier

  1. « CAZIN, « OSCILLATEURS  », Encyclopædia Universalis [en ligne] », sur http://www.universalis.fr/encyclopedie/ (consulté le ).
  2. (en) A Treatise on Analytical Statics, (lire en ligne), p. 89.
  3. (en) A Treatise on Analytical Statics, (lire en ligne), p. 82.
  4. (en) Solutions of the Cambridge Senate-House Problems and Riders for the year 1878, (lire en ligne), p. 33, solution vii.
  5. Selon les indications données p. 29.
  6. (en) « Three more proofs of the Routh's theorem », sur Crux mathematicorum, (ISSN 0705-0348, consulté le )
  7. (en) « Routh's theorem revisited », sur Mathematical spectrum 2011 t44 p24, (consulté le )

BibliographieModifier

  • Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh's theorem», Crux Mathematicorum, 7:199–203.
  • H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, énoncé p. 211, démonstration pp. 219–20, 2nd édition, Wiley, New York.
  • J. S. Kline and D. Velleman (1995) «Yet another proof of Routh's theorem» (1995), Crux Mathematicorum, 21:37–40
  • Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
  • (en) Eric W. Weisstein, « Routh's Theorem », sur MathWorld
  • Routh’s Formula by Cross Products sur MathPages
  • Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.