Théorème de Noether (physique)

Théorème démontrant l'équivalence entre la conservation de grandeurs physiques et l'invariance du lagrangien d'un système

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées.

Emmy Noether est une mathématicienne allemande connue pour ses contributions majeures en algèbre abstraite et en physique théorique.

Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne[1].

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges électriques, et même de temps.

ÉnoncésModifier

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.

Un autre énoncé équivalent est :

Théorème — À toute transformation infinitésimale qui laisse le lagrangien d'un système invariant à une dérivée temporelle totale près correspond une grandeur physique conservée.

Chaque « invariance » traduit le fait que les lois de la physique ne changent pas lorsqu'une expérience subit la transformation correspondante, et donc, qu'il n'y a pas de référence absolue pour mener une telle expérience[2].

DémonstrationsModifier

Remarque : Dans le cas général, on n'a pas nécessairement un unique paramètre   mais plutôt un jeu de paramètres   auxquels vont correspondre les invariants

 

ExemplesModifier

Propriété du système physique Symétrie Invariant
Espace homogène Invariance par translation dans l'espace Conservation de l'impulsion
Espace isotrope Invariance par rotation dans l'espace Conservation du moment cinétique
Système indépendant du temps Invariance par translation dans le temps (les lois sont les mêmes tout le temps) Conservation de l'énergie
Pas d'identité propre des particules Permutation de particules identiques Statistique de Fermi-Dirac, Statistique de Bose-Einstein
Pas de référence absolue pour la phase des particules chargées Invariance par changement de phase Conservation de la charge électrique

Détaillons quelques-uns de ces exemples.

Quantité de mouvementModifier

Prenons tout d'abord le cas d'une particule libre, on a donc le lagrangien

 

invariant par translation. On voit bien ici que si on change l'origine des coordonnées, cela ne va pas modifier la physique de notre particule libre. Le lagrangien est donc invariant par la transformation de translation

 

avec les   les composantes du vecteur décrivant la translation. On voit ici que l'on a, pour une translation infinitésimale d'un vecteur   , une variation de nos coordonnées généralisées qui vaut   . Les quantités conservées associée à cette transformation sont donc

 
avec   le delta de Kronecker, on retrouve bien les composantes du vecteur quantité de mouvement.

Moment cinétiqueModifier

Considérons maintenant le cas d'un système invariant par rotation, prenons par exemple une particule placée dans un potentiel central  , on a alors  . Le système étant invariant par rotation (la norme de la vitesse est invariante par rotation), il semble pertinent de se placer en coordonnées sphériques, on a alors

 

La transformation associée à la rotation en coordonnées sphériques peut s'écrire comme  , avec   et   les deux angles caractérisant la transformation. Pour une transformation infinitésimale on a donc   et  . On voit donc ici que les deux quantités conservées vont être

 
c'est-à-dire les deux composantes angulaires du moment cinétique   multipliées par la masse. Attention cependant aux indices, on a   et  , et on a bien sûr   par définition du produit vectoriel.

ÉnergieModifier

Si on a cette fois un système qui est invariant dans le temps, on a alors un lagrangien qui est indépendant du temps  ,  . La transformation est ici une translation dans le temps, et se traduit pour les coordonnées temporelles par

 

ce qui conduit à la quantité conservée

 
Le lagrangien étant conservé aussi, on a la quantité totale

 

qui est conservée, or ce n'est rien d'autre que le hamiltonien du système. Le hamiltonien (l'énergie) est donc conservé pour les systèmes indépendants (explicitement) du temps.

Théorie des champs classiqueModifier

Le théorème de Noether est aussi valide en théorie des champs classique où le lagrangien est remplacé par une densité lagrangienne qui dépend de champs plutôt que de variables dynamiques. La formulation du théorème reste sensiblement la même[3] :

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse la densité lagrangienne d'un système invariante à une quadridivergence près correspond une quantité conservée.

Invariance de jauge et second théorème de NoetherModifier

On considère de manière générale pour une densité de lagrangien quelconque

 

dont l'action associée doit être stationnaire pour toute transformation infinitésimale des champs selon le Principe de Hamilton. On a donc

 

où on a utilisé la convention d'Einstein pour la sommation sur les indices répétés, et où on a mis de coté les possibles transformations de l'espace temps (on a pris   ). On voit donc que l'on peut reformuler ce résultat de manière générale comme

 

avec   représentant donc les équations du mouvement pour le champ  .

On s'intéresse maintenant à une densité de lagrangien invariante sous une transformation de jauge, c'est-à-dire une transformation locale des champs. Dans ce cas on va voir que l'on applique cette fois le second théorème de Noether.

Plus précisément on considère ici une densité de lagrangien invariante sous un groupe de transformation de dimension infinie et dépendant continûment de   fonctions   , groupe que l'on notera  . On voit que dans le cas d'une telle transformation la variation infinitésimale des champs   dans l'équation ci dessus se décompose comme

 

où la notation   dénote le fait que l'on considère un   infinitésimal. On voit donc que l'on peut reprendre l'équation précédente sous forme intégrale pour obtenir

 
 
or on voit ici que le second terme de la seconde équation est un terme de bord, et les fonctions   étant arbitraires on peut toujours les choisir de sorte que ce terme s'annule. On obtient alors le second théorème de Noether[4]

Théorème — Si l'action S est invariante sous un groupe de transformation   alors il existe   relations  .

ExempleModifier

Considérons par exemple la densité de Lagrangien

 
 ne dépend que des dérivées première de   (dans le cas abélien du moins). Elle est invariante sous la transformation de jauge locale

 

où voit qu'ici on a une seule fonction continue   dans notre groupe de transformation, que l'on a noté  . Cette transformation correspond sous forme infinitésimale à

 
on a alors
 

On en déduit que dans le cas de cette densité de Lagrangien on a la relation

 

On voit alors ici que si les équations du mouvement sont satisfaites pour les deux champs de masse   et   on a alors

 

or sachant que l'on a   et   on en déduit qu'ici le courant   est conservé. Cela implique notamment que   soit complètement antisymétrique, et donc construit à partir de  .

De même si à l'inverse on impose que les équations de l'électromagnétisme soient satisfaites c'est-à-dire   on obtient l'équation de conservation du quadri courant électrique usuel

 

Symétries internesModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) Leon M. Lederman et Christopher T. Hill, Symmetry and the Beautiful Universe, Prometheus Book, , 363 p. (ISBN 978-1-59102-575-7, lire en ligne), p. 73.
  2. « Aperçu sur la relation entre le Théorème de Noether et le Lagrangien », sur www-cosmosaf.iap.fr (traduction libre par J. Fric de Noether's Theorem in a Nutshell de J. Baez).
  3. (en) Herbert Goldstein, Classical Mechanics, p. 589.
  4. (en) Katherine Brading et Harvey R. Brown, « Noether’s Theorems and Gauge Symmetries », arXiv,‎ (lire en ligne).

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Article originalModifier

  • [Noether 1918] (de) Emmy Noether, « Invariante Variationsprobleme » [« Problèmes variationnels invariants »], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, vol. , no 2,‎ , p. 235-257 (lire sur Wikisource, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédiesModifier

  • [Alekseevskii 1995] (en) D. V. Alekseevskii, « Noether theorem : 1) Noether's first theorem », dans Michiel Hazewinkel (éd.), Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet Mathematical encyclopaedia [« Encyclopédie de mathématiques : traduction, mise à jour et annotée, de l’Encyclopédie de mathématiques soviétique »], t. IV : Monge-Ampère equation – Rings and algebras [« Équation de Monge-Ampère – Anneaux et algèbres »], Dordrecht et Boston, Kluwer Academic, (réimpr. en 6 vol.), 1re éd., 1 vol., 929 p., fig., 21 × 29,7 cm (ISBN 1-556-08010-7 et 978-0-7923-2975-6, EAN 9781556080104, OCLC 36917086, DOI 10.1007/978-1-4899-3791-9, SUDOC 030253195, lire en ligne), s.v. Noether theorem : 1) Noether's first theorem [« Théorème de Noether : 1) Premier théorème de Noether »], p. 113-114.

Articles connexesModifier

Liens externesModifier