Théorème de Noether (physique)

Théorème démontrant l'équivalence entre la conservation de grandeurs physiques et l'invariance du lagrangien d'un système

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées.

Emmy Noether est une mathématicienne allemande connue pour ses contributions majeures en algèbre abstraite et en physique théorique.

Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne[1].

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges électriques, et même de temps.

ÉnoncésModifier

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.

Un autre énoncé équivalent est :

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse le Lagrangien d'un système invariant à une dérivée temporelle totale près correspond une grandeur physique conservée.

Chaque « invariance » traduit le fait que les lois de la physique ne changent pas lorsqu'une expérience subit la transformation correspondante, et donc, qu'il n'y a pas de référence absolue pour mener une telle expérience[2].

DémonstrationsModifier

Théorie des champs classiqueModifier

Le théorème de Noether est aussi valide en théorie des champs classique où le lagrangien est remplacé par une densité lagrangienne qui dépend de champs plutôt que de variables dynamiques. La formulation du théorème reste sensiblement la même[3] :

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse la densité lagrangienne d'un système invariante à une quadridivergence près correspond une quantité conservée.

ExemplesModifier

Propriété du système physique Symétrie Invariant
Espace homogène Invariance par translation dans l'espace Conservation de l'impulsion
Espace isotrope Invariance par rotation dans l'espace Conservation du moment cinétique
Système indépendant du temps Invariance par translation dans le temps (les lois sont les mêmes tout le temps) Conservation de l'énergie
Pas d'identité propre des particules Permutation de particules identiques Statistique de Fermi-Dirac, Statistique de Bose-Einstein
Pas de référence absolue pour la phase des particules chargées Invariance par changement de phase Conservation de la charge électrique

Symétries internesModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) Leon M. Lederman et Christopher T. Hill, Symmetry and the Beautiful Universe, Prometheus Book, (ISBN 9781591025757, lire en ligne), p. 73.
  2. « Aperçu sur la relation entre le Théorème de Noether et le Lagrangien », sur www-cosmosaf.iap.fr (traduction libre par J. Fric de Noether's Theorem in a Nutshell de J. Baez).
  3. (en) Herbert Goldstein, Classical Mechanics, p. 589.

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Article originalModifier

  • [Noether 1918] (de) Emmy Noether, « Invariante Variationsprobleme » [« Problèmes variationnels invariants »], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, vol. , no 2,‎ , p. 235-257 (lire sur Wikisource, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédiesModifier

  • [Alekseevskii 1995] (en) D. V. Alekseevskii, « Noether theorem : 1) Noether's first theorem », dans Michiel Hazewinkel (éd.), Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet Mathematical encyclopaedia [« Encyclopédie de mathématiques : traduction, mise à jour et annotée, de l'Encyclopédie de mathématiques soviétique »], t. IV : Monge-Ampère equation – Rings and algebras [« Équation de Monge-Ampère – Anneaux et algèbres »], Dordrecht et Boston, Kluwer Academic, (réimpr. en 6 vol.), 1re éd., 1 vol., 929 p., fig., 21 × 29,7 cm (ISBN 1-556-08010-7 et 978-0-7923-2975-6, EAN 9781556080104, OCLC 36917086, DOI 10.1007/978-1-4899-3791-9, SUDOC 030253195, lire en ligne), s.v. Noether theorem : 1) Noether's first theorem [« Théorème de Noether : 1) Premier théorème de Noether »], p. 113-114.

Articles connexesModifier

Liens externesModifier