Théorème de Noether (mathématiques)

Le théorème de Noether, de Emmy Noether (1918), est un théorème de géométrie symplectique.

Principe

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Soit M une variété différentielle de dimension  . Son fibré tangent TM est l'ensemble des couples   avec x un point de M et   un vecteur tangent à M en x. On prend alors   une fonction appelée lagrangien (indépendant du temps cinématique, c'est-à-dire du paramètre cinématique intervenant dans  ). On note   le moment conjugué de Lagrange, une forme linéaire sur l'espace tangent à M en x.

Une symétrie du lagrangien   est un difféomorphisme   tel que l'on ait   avec  , le couple formé par f et sa dérivée. Les symétries de L forment un groupe pour la composition.

Une symétrie infinitésimale du lagrangien   est un champ de vecteurs V sur M tel que le groupe de Lie à un paramètre engendré par le flot de V,  , soit un sous-groupe des symétries de  .

Le théorème de Noether associe à toute symétrie infinitésimale de   une intégrale première de ses équations d'Euler-Lagrange.

Théorème — Si   est un lagrangien indépendant du temps cinématique, et que   est une symétrie infinitésimale de  , alors la fonction   définie sur   par :

 

est une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange associée à   ; c'est-à-dire que   est constante sur une solution x(t) des équations d'Euler-Lagrange.

Applications

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Mouvement à force centrale

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Un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel de masse   dans un champ de forces dérivant d'un potentiel   ne dépendant que du rayon  . C'est le problème variationnel associé au lagrangien   sur   :

 

Ce lagrangien est invariant par toutes les rotations dont l'axe passe par l'origine. Un groupe à un paramètre de rotations d'axe   est engendré par un champ de vecteurs de la forme :

 

  désigne le produit vectoriel usuel. Par le théorème de Noether, la fonction :

 

est une intégrale première du mouvement. En faisant varier le vecteur rotation  , on conclut que le vecteur suivant, appelé moment cinétique, est constant :

 

Articles connexes

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Pierre Pansu, Cours de Géométrie différentielle, niveau Master 2 ; [PDF]