Théorème de Noether (mathématiques)
Le théorème de Noether, de Emmy Noether (1918), est un théorème de géométrie symplectique.
Principe
modifierSoit M une variété différentielle de dimension . Son fibré tangent TM est l'ensemble des couples avec x un point de M et un vecteur tangent à M en x. On prend alors une fonction appelée lagrangien (indépendant du temps cinématique, c'est-à-dire du paramètre cinématique intervenant dans ). On note le moment conjugué de Lagrange, une forme linéaire sur l'espace tangent à M en x.
Une symétrie du lagrangien est un difféomorphisme tel que l'on ait avec , le couple formé par f et sa dérivée. Les symétries de L forment un groupe pour la composition.
Une symétrie infinitésimale du lagrangien est un champ de vecteurs V sur M tel que le groupe de Lie à un paramètre engendré par le flot de V, , soit un sous-groupe des symétries de .
Le théorème de Noether associe à toute symétrie infinitésimale de une intégrale première de ses équations d'Euler-Lagrange.
Théorème — Si est un lagrangien indépendant du temps cinématique, et que est une symétrie infinitésimale de , alors la fonction définie sur par :
est une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange associée à ; c'est-à-dire que est constante sur une solution x(t) des équations d'Euler-Lagrange.
Applications
modifierMouvement à force centrale
modifierUn mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel de masse dans un champ de forces dérivant d'un potentiel ne dépendant que du rayon . C'est le problème variationnel associé au lagrangien sur :
Ce lagrangien est invariant par toutes les rotations dont l'axe passe par l'origine. Un groupe à un paramètre de rotations d'axe est engendré par un champ de vecteurs de la forme :
où désigne le produit vectoriel usuel. Par le théorème de Noether, la fonction :
est une intégrale première du mouvement. En faisant varier le vecteur rotation , on conclut que le vecteur suivant, appelé moment cinétique, est constant :
Articles connexes
modifierSource
modifierPierre Pansu, Cours de Géométrie différentielle, niveau Master 2 ; [PDF]