Hiérarchie de Borel

La hiérarchie de Borel désigne une description de la tribu des boréliens d'un espace topologique X comme une réunion croissante d'ensembles de parties de X, indexée par le premier ordinal non dénombrable.

Notations préliminaires

Soit ${\mathcal {E}}$ un ensemble de parties d'un ensemble X. On note :

• ${\mathcal {E}}_{\sigma }$ l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de ${\mathcal {E}}$ :${\mathcal {E}}_{\sigma }=\left\{\left.\cup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}~\right|~(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {E}}\right\}$
• ${\mathcal {E}}_{\delta }$ l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de ${\mathcal {E}}$ :${\mathcal {E}}_{\delta }=\left\{\left.\cap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}~\right|~(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {E}}\right\}.$

Les lettres grecques σ et δ représentent respectivement les mots allemands désignant la réunion (Summe) et l'intersection (Durchschnitt).

On note par ailleurs ω₁ le premier ordinal non dénombrable, c'est-à-dire l'ensemble des ordinaux dénombrables.

Définition de la hiérarchie de Borel

Soient X un espace topologique métrisable, G l'ensemble de ses ouverts et F l'ensemble de ses fermés (F est l'initiale de « fermé », et G celle de « Gebiet » : « domaine (en) » en allemand).

On initialise une induction transfinie sur l'ordinal α ∈ ω₁ en notant :

$\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}=G\quad {\rm {et}}\quad \mathbf {\Pi } _{1}^{0}=F.$

Puis, on définit alors par induction transfinie deux familles d'ensembles :

$\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}=\left(\bigcup _{\beta <\alpha }\mathbf {\Pi } _{\beta }^{0}\right)_{\sigma }\quad {\rm {et}}\quad \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}=\left(\bigcup _{\beta <\alpha }\mathbf {\Sigma } _{\beta }^{0}\right)_{\delta }.$

Finalement pour chaque ordinal dénombrable α, on note :

$\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}=\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}\cap \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}.$

Par exemple :

• Δ⁰
  ₁ est l'ensemble des parties de X qui sont à la fois ouvertes et fermées ;
• Σ⁰
  ₂, également noté F_σ, est l'ensemble des unions dénombrables de fermés ;
• Π⁰
  ₂, également noté G_δ, est l'ensemble des intersections dénombrables d'ouverts ;
• Σ⁰
  ₃, également noté G_δσ, est l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de Π⁰
  ₂ = G_δ ;
• Π⁰
  ₃, également noté F_σδ, est l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de Σ⁰
  ₂ = F_σ.

Les ensembles Σ⁰
_α, Π⁰
_α et Δ⁰
_α sont respectivement appelés classes additives, multiplicatives et ambiguës. La famille ordonnée par inclusion formée par la totalité de ces classes (pour α ∈ ω₁) est appelée la hiérarchie de Borel.

Propriétés élémentaires

• Les classes additives sont closes par unions dénombrables, et les classes multiplicatives sont closes par intersections dénombrables.
• Pour chaque ordinal dénombrable α, les éléments de Σ⁰
  _α sont les complémentaires des éléments de Π⁰
  _α.
• Pour tout ordinal dénombrable α, Δ⁰
  _α est une algèbre d'ensembles.
• Les classes de la hiérarchie de Borel sont emboitées les unes dans les autres comme indiqué sur le schéma ci-dessous, les flèches symbolisant l'inclusion :

${\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Pi } _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{matrix}}$

• Dans X (espace métrisable), tout fermé est un G_δ (et, trivialement, un F_σ).
• Dans ℝ, ℚ est un F_σ (comme toute partie dénombrable d'un espace T₁) donc ℝ\ℚ est un G_δ.
• Dans ℝ, ℚ n'est pas un G_δ. En effet, sinon — puisque ℚ et ℝ\ℚ sont denses — l'ensemble vide serait comaigre, ce qui contredirait le théorème de Baire.

Exhaustion de la tribu borélienne

Si l'on note ${\mathcal {B}}$ la tribu borélienne sur X, on peut montrer que :

${\mathcal {B}}=\bigcup _{1\leq \alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{1\leq \alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{1\leq \alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}.$

Classes de Borel de fonctions

Une fonction f : X → Y (avec X et Y métrisables) est dite Borel-mesurable de classe α si pour tout ouvert U de Y, f⁻¹(U) appartient à la classe additive Σ⁰
_α+1 de X ou encore : pour tout fermé F de Y, f⁻¹(F) appartient à la classe multiplicative Π⁰
_α+1.

Les fonctions de classe de Borel 0 sont donc les fonctions continues, tout comme les fonctions de classe de Baire 0.

Toute fonction de classe de Baire 1 est de classe de Borel 1, autrement dit : pour toute fonction f : X → Y limite simple d'une suite de fonctions continues et tout ouvert U de Y, f⁻¹(U) est un F_σ.

Démonstration

Soient (f_m) une telle suite et F un fermé de Y, montrons que f⁻¹(F) est un G_δ. Pour tout point x de f⁻¹(F), d(f_m(x), F) ≤ d(f_m(x), f(x)) → 0 donc pour tout entier n > 0, en notant S_n le 1/n-voisinage ouvert de F

$S_{n}:=\left\{y\in Y\mid d(y,F)<{\tfrac {1}{n}}\right\},$

il existe au moins un entier m ≥ n tel que f_m(x) ∈ S_n (en fait : tous les entiers m à partir d'un certain rang), ce qui s'écrit :

$f^{-1}(F)\subset \bigcap _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\bigcup _{m\geq n}f_{m}^{-1}(S_{n}).$

Réciproquement, si, pour un point x, il existe une suite d'entiers m_n ≥ n tels que d(f_mn(x), F) < 1/n, alors d(f(x), F) = 0, c'est-à-dire (puisque F est fermé) f(x) ∈ F. L'inclusion précédente est donc une égalité, et f⁻¹(F) est bien une intersection dénombrable d'ouverts (eux-mêmes réunions dénombrables d'ensembles de la forme f_m⁻¹(S_n), qui sont ouverts par continuité des f_m).

On démontre exactement de la même façon que plus généralement, toute limite simple d'une suite de fonctions de classe de Borel α est de classe de Borel α + 1.

On en déduit facilement que toute fonction de classe de Baire α est de classe de Borel α si l'ordinal α est fini, et α + 1 s'il est infini (en écrivant α = λ + n avec n entier et λ nul ou ordinal limite, et en raisonnant par récurrence et induction).

La réciproque est fausse en général, mais vraie si Y = [0, 1]^κ avec κ fini ou dénombrable : c'est le théorème de Lebesgue-Hausdorff.

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Classe de Baire » (voir la liste des auteurs).
• (en) S. M. Srivastava, A Course on Borel Sets, Springer, 2010 (1^re éd. 1998) (lire en ligne), p. 115-117

Voir aussi

• Ensemble des discontinuités d'une fonction
• Espace parfaitement normal
• Hiérarchie arithmétique
• Hiérarchie de croissance rapide
• Hiérarchie de Veblen
• Hiérarchie de Wadge (en)
• Théorie descriptive des ensembles
• Tribu engendrée