Théorème de Kürschák
En arithmétique, le théorème de Kürschák, dû à József Kürschák, énonce que les tranches de la série harmonique ne sont jamais entières, sauf si on ne considère que le premier terme.
Énoncé modifier
Démonstration modifier
Il est clair que pour m = n = 1, on obtient une valeur entière. Supposons maintenant n ≥ 2. Si m = n, le problème est résolu puisque 1/n n'est pas entier. Supposons donc m < n et notons 2r la plus grande puissance entière de 2 divisant au moins un entier compris (au sens large) entre m et n. On a r ≥ 1, car il y a au moins un entier pair entre m et n. En fait, 2r divise un unique entier compris entre m et n. En effet, s'il existait k = 2r(2s + 1) < k' = 2r(2t + 1) compris entre m et n, alors 2r(2s + 2) = 2r + 1(s + 1) serait compris entre m et n, ce qui contredirait la définition de r.
On en conclut que s'écrit sous la forme , où et sont impairs ( étant le PPCM des m, …, n), donc que cette somme n'est pas entière.
Historique modifier
Une version affaiblie de ce résultat, correspondant au cas où m = 1, a été prouvée en 1915 par Taeisinger. Kürschák a ensuite traité le cas général en 1918[1].
Généralisation modifier
En 1932, Paul Erdős généralise ce résultat aux suites harmoniques quelconques[1].
Notes et références modifier
- Exercices de mathématiques, oraux x-ens : algèbre 1, Paris, Cassini, , 371 p. (ISBN 978-2-84225-132-1), p. 138.
- (en) Eric W. Weisstein, « Harmonic Number », sur MathWorld.