Théorème de Jordan-Hölder

Le théorème de Jordan-Hölder est un théorème de la théorie des groupes, qui fait partie de l'algèbre générale. Il permet notamment une démonstration très générale de la réduction de Jordan des matrices carrées.^{[réf. souhaitée]}

Définitions

Soient G un groupe et e son élément neutre.

• Rappelons qu'on appelle suite de composition de G toute suite finie (G₀, G₁, …, G_r) de sous-groupes de G telle que
  $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}$
  et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, G_i+1 soit sous-groupe normal de G_i.
  Les quotients G_i/G_i+1 sont appelés les quotients de la suite.
• Soient Σ₁ = (G₀, G₁, …, G_r) et Σ₂ = (H₀, H₁, …, H_s) deux suites de composition de G. Rappelons qu'on dit que
  • Σ₂ est un raffinement de Σ₁, ou encore que Σ₂ est plus fine que Σ₁, si Σ₁ est extraite de Σ₂, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) … < j(r) = s tels que G_i = H_j(i) pour tout i ∈ {1, …, r – 1}.
  • Σ₁ et Σ₂ sont équivalentes si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, …, r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient G_i/G_i+1 soit isomorphe au quotient H_σ(i)/H_σ(i)+1.
• Soit Σ = (G₀, G₁, …, G_r) une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
  a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ;
  b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ;
  c) pour tout i ∈ [0, r – 1], G_i+1 est un sous-groupe distingué maximal de G_i (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de G_i).
  On appelle suite de Jordan-Hölder une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).

Tout groupe fini admet au moins une suite de Jordan-Hölder. Plus généralement, un groupe G admet une suite de Jordan-Hölder si et seulement s'il satisfait aux conditions de chaîne ascendante et descendante pour les sous-groupes sous-normaux, c'est-à-dire si toute suite croissante et toute suite décroissante de sous-groupes sous-normaux de G est stationnaire. (Cela revient encore à dire que tout ensemble non vide E de sous-groupes sous-normaux de G a un élément maximal dans E pour l'inclusion et un élément minimal dans E pour l'inclusion; soit finalement, que le treillis des sous-groupes sous-normaux de G est complet.) En particulier, si un groupe satisfait aux conditions de chaîne ascendante et descendante pour les sous-groupes quelconques, il admet une suite de Jordan-Hölder.

Le théorème de Jordan-Hölder

Le théorème de Jordan-Hölder dit que deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes. Ce théorème peut se démontrer à l'aide du théorème de raffinement de Schreier, lequel peut lui-même se démontrer à l'aide du lemme de Zassenhaus.

Exemple

Pour le groupe des nombres modulo 6, on a les deux suites de Jordan-Hölder suivantes :

• $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \supset \{0,2,4\}\supset \{0\}$
• $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \supset \{0,3\}\supset \{0\}$

dont les quotients sont (à isomorphisme près) ℤ/2ℤ puis ℤ/3ℤ pour la première et ℤ/3ℤ puis ℤ/2ℤ pour la seconde.

Généralisation

Le thèorème de Jordan se généralise utilement aux groupes à opérateurs.

Tout d'abord, on étend la notion de suite de Jordan-Hölder d'un groupe aux groupes à opérateurs : on appelle suite de Jordan-Hölder d'un Ω-groupe G toute suite finie (G₀, G₁, … , G_r) de Ω-sous-groupes de G telle que

$G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}$,

que, pour tout i∈{0, 1, … , r – 1}, G_{i + 1} soit sous-groupe normal (et donc Ω-sous-groupe normal) de G_i et que, pour tout i∈{0, 1, … , r – 1}, le Ω-groupe quotient G_i/G_{i + 1} soit Ω-simple.

Comme dans le cas des groupes ordinaires, tout groupe à opérateurs fini admet au moins une suite de Jordan-Hölder et, plus généralement, un groupe à opérateurs G admet une suite de Jordan-Hölder si et seulement s'il satisfait aux conditions de chaîne ascendante et descendante pour les sous-groupes stables sous-normaux, c'est-à-dire si toute suite croissante et toute suite décroissante de sous-groupes stables sous-normaux de G est stationnaire. (Cela revient encore à dire que tout ensemble non vide E de sous-groupes stables sous-normaux de G a un élément maximal dans E pour l'inclusion et un élément minimal dans E pour l'inclusion.)

Soit G un Ω-groupe, soient Σ₁ = (G₀, G₁, … , G_r) et Σ₂ = (H₀, H₁, … , H_s) deux suites de Jordan-Hölder de G. On dit que Σ₁ et Σ₂ sont équivalentes si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, … , r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le Ω-groupe quotient G_i/G_{i + 1} soit Ω-isomorphe au Ω-groupe quotient H_σ(i)/H_{σ(i) + 1}.

La démonstration du théorème de Jordan-Hölder s'étend alors immédiatement aux groupes à opérateurs : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe à opérateurs sont toujours équivalentes.

Exemple d'utilisation de la forme généralisée

Soient A un anneau et M un A-module à gauche ou à droite sur A. L'addition des vecteurs de M est une loi de groupe et la loi externe de M est une opération

$\ A\times M\rightarrow M:(\lambda ,v)\mapsto \lambda v$

qui fait de M un groupe à opérateurs dans A (en raison de la distributivité de la loi externe par rapport à l'addition des vecteurs).

Tout ceci est vrai en particulier dans le cas d'un espace vectoriel à gauche ou à droite V sur un corps (non forcément commutatif) K (le lecteur qui n'est pas familier avec les corps non commutatifs et les espaces vectoriels à gauche et à droite peut supposer que K est un corps commutatif et que V est un espace vectoriel sur K) : l'addition des vecteurs de V est une loi de groupe et la loi externe de V est une opération

$\ K\times V\rightarrow V:(\lambda ,v)\mapsto \lambda v$

qui fait de V un groupe à opérateurs dans K (en raison de la distributivité de la loi externe par rapport à l'addition des vecteurs).

Un espace vectoriel à gauche ou à droite sur un corps K est donc un cas particulier de groupe à opérateurs dans K. Les sous-groupes stables de ce groupe à opérateurs sont les sous-espaces vectoriels de V. Comme le groupe à opérateurs V est commutatif, tous ses sous-groupes stables sont normaux. Si W est un sous-espace vectoriel de V, l'espace vectoriel quotient de l'espace V par l'espace W est le groupe à opérateurs quotient du groupe à opérateurs V par son sous-groupe stable W. Le groupe à opérateurs V est simple si et seulement si l'espace vectoriel V est de dimension 1.

Nous allons tirer de ce qui précède que deux bases finies d'un même espace vectoriel ont toujours le même nombre d'éléments. Soient (a₁, … , a_r) et (b₁, … , b_s) deux bases d'un même espace vectoriel V. Il s'agit de prouver que r = s. Pour chaque i (0 ≤ i ≤ r), désignons par V_i le sous-espace vectoriel de V engendré par les a_j avec j ≤ i (on a donc V₀ = 0). De même, pour chaque k (0 ≤ k ≤ s), désignons par W_k le sous-espace vectoriel de V engendré par les b_l avec l ≤ k. Alors (V_r, … , V₀) et (W_s, … , W₀) sont deux suites de Jordan-Hölder du groupe à opérateurs V. D'après le théorème de Jordan-Hölder étendu aux groupes à opérateurs, ces deux suites sont équivalentes. En particulier, elles ont la même longueur, donc r = s, comme annoncé.

Remarque. La démonstration qui précède montre qu'un espace vectoriel est de dimension finie si et seulement s'il est de longueur finie comme groupe à opérateurs et que sa longueur est alors égale à sa dimension. En revanche, si V est de dimension infinie, la longueur de V (qui est alors infinie elle aussi) n'est pas forcément égale à la dimension de V, car la longueur de V, comme la longueur de tout groupe à opérateurs de longueur infinie, est alors égale au plus petit cardinal infini, ce qui n'est pas forcément le cas de la dimension de V.

Histoire

C. Jordan énonça en 1869 et démontra en 1870 que dans deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe fini, la suite des ordres (nombres d'éléments) des quotients est la même, à une permutation près. En 1889, O. Hölder renforça ce résultat en prouvant le théorème appelé depuis théorème de Jordan-Hölder.

Voir aussi

Groupe polycyclique (en)