Théorème de Helmholtz-Hodge

En mathématiques et en physique, dans le domaine de l’analyse vectorielle, le théorème de Helmholtz-Hodge, également appelé théorème fondamental du calcul vectoriel, assure qu'un champ vectoriel se décompose en une composante « longitudinale » (irrotationnelle) et une composante « transverse » (solénoïdale), soit la somme du gradient d’un champ scalaire et du rotationnel d’un champ vectoriel.

Ce résultat possède des applications importantes en électromagnétisme et en mécanique des fluides ; il est également exploité en sismologie.

Énoncé du théorèmeModifier

Théorème de Helmholtz-Hodge —  Soit   un champ vectoriel de classe    est soit un domaine compact et connexe de frontière   supposée régulière (ou régulière par morceaux), soit   lui-même. Alors il existe un champ vectoriel   et un champ scalaire   définis sur   tels que

 

Par ailleurs, ces deux champs peuvent être caractérisés par les expressions suivantes :

  • Si   est compact :
 
 
  • Si   et si   décroît à l'infini comme  , alors les relations précédentes restent valables en ignorant les intégrales de surface. D’autre part, parmi les champs qui décroissent à l’infini (ce qui est le cas s’ils sont définis par les relations précédentes), la décomposition est unique (  n’est défini qu’à une constante près et   ne l’est qu’à un gradient près) et les deux termes de la décomposition sont orthogonaux avec le produit scalaire de  , c’est à dire :
 


Justification

Considérons d’abord la situation où   est compact.


Le laplacien agissant sur la variable   implique

 

  est la « fonction » de Dirac.

Ainsi, pour tout volume   contenant  , il vient

 


De l’identité   , il découle la relation suivante où chaque opérateur agit sur la variable   :

 

Les identités vectorielles

 
 

conduisent aux expressions suivantes dans lesquelles les opérateurs des membres de gauche agissent sur la variable   et ceux des membres de droite agissent sur la variable   :

 
 

La conclusion s’obtient après substitution et application du théorème de la divergence au premier terme et du théorème du rotationnel au second terme.


Lorsque  , l’hypothèse de décroissance de   qui décroît à l'infini comme   permet d’assurer que les intégrales de surface convergent vers 0 lorsque le domaine d’intégration s’étend progressivement à l’espace entier (sphères concentriques par exemple).

Afin de montrer l’orthogonalité de la décomposition de  , l’identité

 

et le théorème de la divergence impliquent :

 

Avec l’hypothèse des champs qui décroissent à l’infini, l’intégrale de surface converge vers 0, ce qui montre l’orthogonalité des composantes lorsque  .

Lorsque  , l’orthogonalité de sa décomposition implique son unicité : les deux composantes sont donc nécessairement nulles dans ce cas particulier. Ainsi, les différences, composante par composante, de deux décompositions d’un champ quelconque correspondent à une décomposition du champ nul : ces différences sont donc nécessairement nulles.

Remarques :

  • L’égalité   s’appelle la décomposition de Helmholtz.
  • Lorsque le domaine est borné, il n’est pas toujours possible de garantir l’orthogonalité de la décomposition et elle n’est jamais unique.
  • L’hypothèse de connexité n’est pas essentielle puisque le théorème peut s’appliquer séparément à chaque partie connexe.
  • Certaines hypothèses de l’énoncé peuvent être affaiblies, en particulier sur la régularité de   et la forme de  , ou sur la décroissance de   à l’infini[1].

Courte preuve à l'aide de la transformée de FourierModifier

Le principal souci avec cette approche est la question de la convergence des transformées de Fourier, notamment dans le cas où le domaine est   en entier.

Contre-exemple à l’unicité de la décompositionModifier

Considérons une décomposition d’un champ   supposée vérifiée sur un domaine donné a priori quelconque :

 

Partant d’un vecteur   constant et non nul choisi arbitrairement, puis définissant les deux champs

 

qui vérifient

 

on obtient une deuxième décomposition distincte de la première en se basant sur les champs

 

Par ailleurs, même si les termes de la première décomposition sont orthogonaux, il est toujours possible de choisir un   de norme suffisamment élevée de sorte que ce ne soit plus le cas pour la seconde.


Cet exemple simple montre que sur un domaine compact, même avec une frontière parfaitement régulière (une sphère par exemple), l’unicité de la décomposition n’est jamais assurée, même pour un champ infiniment régulier et quelles que soient les conditions de bord qu’il puisse satisfaire.

Dans   par contre, un champ constant non nul ne respecterait pas l’hypothèse du théorème relative à la décroissance à l’infini.

Autre formulationModifier

Alors que le théorème précédent affirme une décomposition d’un champ en une composante solénoïdale et une composante irrotationnelle, la formulation suivante affirme une recomposition d’un champ à partir d’une divergence et d’un rotationnel. Bien que ces deux résultats ne soient pas directement liés, les arguments des preuves respectives se basent sur des relations semblables. Ils sont toutefois dénommés théorème de Helmholtz.

Théorème de Helmholtz —  Soient   un champ scalaire et   un champ vectoriel solénoïdal   définis dans   et tous deux supposés décroître à l’infini comme  . Alors il existe un champ vectoriel   tel que

  •  
  •  

De plus, il existe un unique champ   satisfaisant ces propriétés et décroissant à l’infini comme  .

Justification

Par l’hypothèse de décroissance des champs qui donne un sens à la relation ci-dessous, posons

 

  et où les deux opérateurs agissent sur la variable  

Il s’agit de montrer que ce candidat vérifie les propriétés attendues.

  • Pour la divergence :
 
  • Pour le rotationnel :

A l’aide de l’identité  , il vient

 

Le second terme étant égal   il suffit alors de montrer que le premier terme est nul.


Considérons un domaine   borné qui s’étend progressivement à l’espace entier.

L’égalité suivante (où l’opérateur du membre de gauche agit sur la variable   et ceux du membre de droite agissent sur la variable  ) :

 

dans laquelle   permet d’exprimer le premier terme sous la forme

 

par le théorème de la divergence. L’hypothèse de décroissance des champs permet d’affirmer que ce terme tend vers 0 lorsque le domaine s’étend à l’espace entier.

On a ainsi trouvé un champ   satisfaisant les propriétés requises.


Montrons encore que   est unique si ce champ décroît à l’infini comme  . La différence entre deux tels candidats est encore un champ qui décroît à l’infini comme  . D’après le théorème de Helmholtz-Hodge, la décomposition de Helmholtz de ce champ est unique. Puisque sa divergence et son rotationnel sont nuls, les deux champs de sa décomposition le sont également, ceci à cause des relations qui les caractérisent. Le champ est finalement nul et les deux candidats sont nécessairement identiques.

Remarque :

Le champ   qui est choisi comme candidat dans la démonstration précédente est construit à partir de la décomposition de Helmholtz et des expressions caractérisant   et   dans le théorème de Helmholtz-Hodge. En effet :

 

correspondant à la décomposition

 

s’écrivent respectivement sur un compact   :

 
 

Ainsi, lorsque  , les intégrales de surface disparaissent, ce qui conduit au corollaire suivant :

Corollaire —  Soient   un champ scalaire et   un champ vectoriel solénoïdal   définis dans   et tous deux à support compact  . Alors il existe un champ vectoriel   satisfaisant

  1.  
  2.  

qui est défini par   où :

  •  
  •  

De plus, il existe un unique champ   satisfaisant les propriétés 1. et 2. et décroissant à l’infini comme  .

Application aux potentielsModifier

Dans l’espace entierModifier

Dans   et sous les hypothèses du théorème de Helmholtz-Hodge, les expressions caractérisant les champs   et   permettent d’affirmer les propriétés suivantes :

  • Si le champ   est irrotationnel   , alors il dérive d’un potentiel scalaire : il existe un champ scalaire   tel que
 
  • Si le champ   est solénoïdal   , alors il dérive d’un potentiel vecteur : il existe un champ vectoriel   tel que
 

Dans une partie de l’espaceModifier

Sur un domaine   qui n’est qu’une partie de  , l’existence de potentiels est plus complexe : en particulier, elle n’est en aucun cas assurée lorsque le domaine admet un « trou ».

Potentiel scalaireModifier

Si   est connexe par arcs et simplement connexe (sans « trous »), un champ   continu et irrotationnel admet un potentiel scalaire.


On le montre en choisissant un point arbitraire   dans  , puis en définissant « explicitement » pour tout   dans   :

   est une courbe orientée reliant   à  .

La relation conduit bien à   et la consistance de cette définition découle du théorème du rotationnel (celui qui identifie le flux du rotationnel d’un champ à travers une surface et la circulation du champ sur sa frontière) car il assure que la valeur   est indépendante du choix du chemin : pour deux chemins reliant  , leur réunion est une courbe fermée   sur laquelle une surface   de bord   peut être construite (c’est précisément ici qu’intervient l’hypothèse de connexité simple).

Potentiel vecteurModifier

Si   est un ouvert étoilé et que le champ   est solénoïdal   et de classe  , alors il dérive d’un potentiel vecteur : il existe un champ vectoriel   tel que

 


Après l’avoir formulée adéquatement en termes de formes différentielles, cette propriété est une application directe du lemme de Poincaré qui affirme qu’une forme différentielle de degré un, de classe   sur un ouvert étoilé est exacte si et seulement si elle est fermée.

RéférenceModifier

  1. Y. F. Gui and W. B. Dou : « A RIGOROUS AND COMPLETED STATEMENT ON HELMHOLTZ THEOREM », Progress In Electromagnetics Research, PIER 69, 287–304, 2007

Voir aussiModifier