Théorème de Gergonne

Le théorème de Gergonne est le théorème de géométrie affine suivant :

Dans un plan affine, soient ABC un triangle non aplati, et A' , B' , C' trois points appartenant respectivement aux droites (BC), (CA) et (AB). Si les droites (AA' ), (BB' ) et (CC' ) sont concourantes en un point M, alors les mesures algébriques vérifient :

${\frac {\overline {A'\,M}}{\overline {A'\,A}}}+{\frac {\overline {B'\,M}}{\overline {B'\,B}}}+{\frac {\overline {C'\,M}}{\overline {C'\,C}}}=1~.$

Démonstration

Soient a, b, c (de somme 1) les coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine (A,B,C) : M est égal à aA+bB+cC donc aussi, par associativité du barycentre, à (a+b)C'+cC, si bien que

${\frac {\overline {C'\,M}}{\overline {C'\,C}}}=c\ .$

De même,

${\frac {\overline {A'\,M}}{\overline {A'\,A}}}=a\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\overline {B'\,M}}{\overline {B'\,B}}}=b\ ,$

d'où le résultat, en additionnant les trois.