Théorème de Favard

En mathématiques, le théorème de Favard, aussi appelé théorème de Shohat–Favard, d'après Jean Favard et James Shohat (en), affirme qu'une suite de polynômes satisfaisant une certaine relation de récurrence à trois termes est une suite de polynômes orthogonaux.

Historique

Le théorème fut publié dans le cadre de la théorie des polynômes orthogonaux par Jean Favard en 1935 et (indépendamment, sous une forme plus précise) par James Shohat (en) en 1938, mais un résultat essentiellement équivalent avait été obtenu longtemps auparavant par Stieltjes dans l'étude des fractions continues (généralisées), et redécouvert à plusieurs reprises avant les travaux de Favard.

Énoncé

Soit y₀ = 1, y₁, ... une suite de polynômes avec y_n de degré n. Si c'est une suite de polynômes orthogonaux, elle vérifie une relation de récurrence à trois termes. Le théorème de Favard en est essentiellement la réciproque, énonçant que si la suite vérifie une relation de récurrence de la forme

$y_{n+1}=(x-c_{n})y_{n}-d_{n}y_{n-1}$

(les c_n et d_n étant des constantes réelles quelconques), alors il existe une forme linéaire Λ vérifiant Λ(1) = 1 telle que les polynômes y_n forment une suite « orthogonale » pour Λ, c'est-à-dire que Λ(y_my_n) = 0 si m ≠ n.

Avec ces conditions, Λ est unique, et est définie par Λ(1) = 1, Λ(y_n) = 0 si n > 0.

Λ vérifie $\Lambda (y_{n}^{2})=d_{n}\Lambda (y_{n-1}^{2})$ ; la forme bilinéaire $(y,y')\mapsto \Lambda (yy')$ est donc définie positive si et seulement si les d_n sont positifs ; Λ(y) est alors la projection orthogonale de y sur l'espace des constantes, pour le produit scalaire ainsi défini.

Shohat a démontré en 1938 que lorsque les d_n sont positifs, on peut écrire $\Lambda (y)=\int y\,{\rm {d}}g$ pour une fonction croissante $g$ convenable (l'intégrale étant prise au sens de Stieltjes), ce qui achève d'identifier les y_n à des polynômes orthogonaux.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Favard's theorem » (voir la liste des auteurs).

• (en) Theodore Seio Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, vol. 13, New York, Gordon and Breach Science Publishers, coll. « Mathematics and its Applications », 1978, 249 p. (ISBN 978-0-677-04150-6, MR 0481884 Reprinted by Dover 2011, ISBN 978-0-486-47929-3, lire en ligne)
• Jean Favard, « Sur les polynômes de Tchebicheff. », C. R. Acad. Sci., Paris, vol. 200,‎ 1935, p. 2052–2053 (JFM 61.0288.01)
• (en) Q. I. Rahman et G. Schmeisser, Analytic theory of polynomials, vol. 26, Oxford, Oxford University Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series », 2002, 15–16 p. (ISBN 0-19-853493-0, zbMATH 1072.30006)
• J. Shohat, « Sur les polynômes orthogonaux généralisés. », C. R. Acad. Sci., Paris, vol. 207,‎ 1938, p. 556–558 (zbMATH 0019.40503)

Articles connexes

• Mesure secondaire
• Transformée de Stieltjes