Théorème de Cotes (cercle)

En géométrie plane, le théorème de Cotes sur le cercle établit une relation entre les distances d'un point aux sommets d'un polygone régulier et la distance de ce point au centre du polygone.

Illustration du théorème de Cotes pour $n=6$. En notant r le rayon du cercle, le produit des distances rouges vaut $r^{6}-OM^{6}$ et le produit des distances vertes vaut $r^{6}+OM^{6}$

Énoncé en 1716 par Roger Cotes, il se démontre en général par l'utilisation des complexes. Il sert à factoriser les polynômes $x^{n}\pm r^{n}$ et permet de décomposer des fractions rationnelles en éléments simples. Il permet également de mettre en évidence des formules trigonométriques.

Énoncé

On considère un cercle de centre O et de rayon r et un entier naturel non nul n. On découpe le cercle en 2n parties égales à l'aide des points ${\textstyle \left(A_{i}\right)_{i\in \{0,\cdots 2n-1\}}}$ et on considère un point M situé sur la demi-droite [OA₀) alors

$\left|OM^{n}-r^{n}\right|=MA_{0}\times MA_{2}\times \cdots \times MA_{2n-2}$

$OM^{n}+r^{n}=MA_{1}\times MA_{3}\times \cdots MA_{2n-1}$

Par exemple, pour n=2, ces égalités donnent, pour la première égalité, un cas particulier de la puissance d'un point par rapport à un cercle et pour la seconde égalité le théorème de Pythagore.

Historique

Le théorème est énoncé par Roger Cotes en 1716 et découvert par son cousin Robert Smith dans ses papiers après sa mort. Le but de Cotes était de factoriser des polynômes de la forme xⁿ - rⁿ ou xⁿ + rⁿ de manière à pouvoir décomposer des fonctions rationnelles en éléments simples et ainsi les intégrer plus facilement. En effet, en notant x la distance OM, grâce à l'axe de symétrie (OA₀) et en utilisant le théorème d'Al-Kashi, les deux formules conduisent aux formes suivantes :

$x^{n}-r^{n}=(x^{2}-r^{2})\prod _{k=1}^{m-1}\left(x^{2}-2xr\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)+r^{2}\right)$ si $n=2m$

$x^{n}-r^{n}=(x-r)\prod _{k=1}^{m}\left(x^{2}-2xr\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)+r^{2}\right)$ si $n=2m+1$

$x^{n}+r^{n}=\prod _{k=0}^{m-1}\left(x^{2}-2xr\cos \left({\frac {(2k+1)\pi }{n}}\right)+r^{2}\right)$ si $n=2m$

$x^{n}+r^{n}=(x+r)\prod _{k=0}^{m-1}\left(x^{2}-2xr\cos \left({\frac {(2k+1)\pi }{n}}\right)+r^{2}\right)$ si $n=2m+1$

Une première démonstration par Henry Pemberton (en) en 1722 utilise le développement en série de sin(nθ) et cos(nθ). Abraham De Moivre en fait une nouvelle démonstration en 1730 en utilisant les complexes et sa formule

$\cos B={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{\cos(nB)+i\sin(nB)}}+{\sqrt[{n}]{\cos(nB)-i\sin(nB)}}\right)$

Il en généralise la formule permettant ainsi une factorisation de x²ⁿ-2Lxⁿ+1. De telles propriétés sont de fait parfois appelées propriétés de Cotes-De Moivre sur le cercle.

En 1797, John Brinkley en fait une démonstration n'utilisant pas les complexes

Démonstration sans les complexes - principe de la méthode

On peut, sans perte de généralité, supposer que le cercle est de rayon 1. En élevant au carré le produit des distances et en nommant x la distance OM, il s'agit de démontrer, pour la première formule, que

$x^{2n}-2x^{n}+1=\prod _{k=0}^{n-1}MA_{2k}^{2}.$

Grâce, au théorème d'Al-Kashi, on sait que

$MA_{2k}^{2}=x^{2}+1-2x\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)=2x\left({\frac {x^{2}+1}{2x}}-\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)\right).$

On pose alors

$X={\frac {x^{2}+1}{2x}}$ et $\omega _{k}=\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right).$

Il s'agit donc de prouver que

$x^{2n}-2x^{n}+1=2^{n}x^{n}\prod _{k=0}^{n-1}(X-\omega _{k}).$

Or on sait que, en utilisant le polynôme de Tchebychev de première espèce T_n que

$\cos(n\theta )=T_{n}(\cos(\theta )).$

et en l'appliquant aux angles précédents

$\cos \left(n{\frac {2k\pi }{n}}\right)=T_{n}(\omega _{k})=1.$

Les ${\textstyle \omega _{k}}$ sont donc les n racines du polynôme T_n(X) - 1. On a donc l'égalité

$2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}(X-\omega _{k})=T_{n}(X)-1$

Il s'agit donc de prouver que

$x^{2n}-2x^{n}+1=2x^{n}\left(T_{n}\left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)-1\right).$

Ce qui se fait aisément, par exemple par récurrence, sachant que

$T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_{n}(X).$

En 1797 et 1806, de manière indépendante, Caspar Wessel et Jean-Robert Argand mettent en place une interprétation géométrique des complexes. La démonstration de ce théorème en est alors simplifiée. Wessel en propose une démonstration simple et Argand une généralisation proche de celle de De Moivre.

Démonstration et généralisation du théorème de Cotes grâce aux affixes

On se contente de découper le cercle en n parties égales, obtenant ainsi les points B_k d'affixes ${\textstyle \omega _{k}=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2k\pi /n}}$. Le point M d'affixe z est choisi quelconque dans le plan complexe. La distance MB_k correspond au module de ${\textstyle z-\omega _{k}}$. On a ainsi

$\prod _{k=0}^{n-1}MB_{k}=\left|\prod _{k=0}^{n-1}(z-\omega _{k})\right|.$

Or ${\textstyle \omega _{k}^{n}=r^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2nk\pi /n}=r^{n}}$ donc les ${\textstyle \omega _{k}}$ sont les n racines du polynôme zⁿ-rⁿ. On a alors

$\prod _{k=0}^{n-1}MB_{k}=|z^{n}-r^{n}|.$

Si le point M est d'affixe réelle positive, on obtient la première égalité du théorème de Cotes. Si le point M a pour affixe ${\textstyle OM\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /(2n)}}$, on obtient la seconde égalité du théorème de Cotes. Enfin si r=1 et ${\textstyle z=x\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }}$, en élevant au carré l'égalité on obtient, grâce au théorème d'Al-Kashi

$|x^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\theta }-1|^{2}=\prod _{k=0}^{n-1}MB_{k}^{2}.$

$x^{2n}-2x^{n}\cos(n\theta )+1=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x^{2}-2x\cos \left(\theta -{\frac {2k\pi }{n}}\right)+1\right).$

Le théorème de Cotes permet également de démontrer des égalités trigonométriques.

Bibliographie

• (en) Ronald Gowing, Roger Cotes, Natural philosopher, Cambridge University Press, 2002 (présentation en ligne)
• Ralph Griffiths, The monthly review, vol. 36, 1801 (lire en ligne)
• Lhuillier, « Sur la décomposition en facteurs premiers de la somme et de la différence de deux puissances à exposants quelconques etc. », dans Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres, 1793 (lire en ligne)
• Jean Robert Argand, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques., 1874 (lire en ligne)