Théorème de Bohr-Mollerup

En mathématiques, le théorème de Bohr–Mollerup porte le nom des deux mathématiciens danois Harald Bohr et Johannes Mollerup (de), qui l'ont démontré en 1922[1]. Il caractérise la fonction gamma, définie pour par

comme la seule fonction définie pour qui vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

  • est logarithmiquement convexe, c'est-à-dire que est une fonction convexe[2].

Une démonstration particulièrement élégante en a été donnée par Emil Artin[3].

DémonstrationModifier

La fonction gamma satisfait classiquement ces trois conditions (la première est immédiate, la deuxième se montre par intégration par parties et la troisième se déduit de l'inégalité de Hölder).

Soit   une fonction qui les satisfait aussi.

Les deux premières conditions permettent d'obtenir, pour tout entier naturel   et tout réel   :

 

On utilise ensuite la convexité de   pour en déduire :

 

En particulier, pour tout réel   et tout entier   :

  •  
  •  

En substituant  , on obtient ainsi l'encadrement suivant pour  [4] :

 

et (puisque   satisfait les mêmes hypothèses) le même encadrement pour  .

Or quand   tend vers l'infini, le majorant et le minorant sont équivalents. Par conséquent, ils tendent tous deux vers  , auquel   est donc égal.

Cette égalité, démontrée pour tout  , s'étend à tout   grâce à la deuxième condition, donc  .

RemarqueModifier

Cette démonstration prouve de plus que pour tout  , toute suite équivalente aux bornes de l'encadrement ci-dessus tend vers  . En particulier :

 

Comme précédemment, cette égalité s'étend à tout  .

Notes et référencesModifier

  1. (da) H. Bohr et J. Mollerup, Lærebog i matematisk Analyse, vol.3, Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen, 1922, p. 149-164.
  2. La base du logarithme n'a pas d'importance du moment qu'elle est strictement supérieure à 1, mais par convention certains mathématiciens prennent le log sans indice pour désigner le logarithme naturel : celui de base e.
  3. (en) E. Artin, The Gamma function, Dover, 2015 (1re éd. Holt, Rinehart, Winston, 1964), p. 14-15 (traduction par Michael Butler de Einführung in die Theorie der Gammafunktion, 1931)
  4. Cette méthode, tirée de (en) « Proof of Bohr-Mollerup theorem, id3808 », sur PlanetMath, est essentiellement celle d'Artin.

Voir aussiModifier

Article connexeModifier

Théorème de Wielandt

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