Théorème d'Ulam

Le théorème d'Ulam est un théorème concernant les tribus (ou σ-algèbres), en théorie de la mesure et en probabilités. Ce théorème justifie en partie l'introduction de ces concepts. Il fut démontré dans un article écrit par Stefan Banach et Kazimierz Kuratowski en 1929[1] en utilisant l'hypothèse du continu, puis par Stanislaw Ulam en 1930 sous des hypothèses plus faibles[2].

ÉnoncéModifier

Mesure diffuseModifier

Définition — Soit   un espace mesuré. On dit qu'un élément   est un atome pour   si  . On dit que la mesure est diffuse si elle est sans atomes.

Par exemple, si  , une mesure non nulle ne peut pas être diffuse. En effet, si une mesure est non nulle, alors   par σ-additivité donc nécessairement,   est non nul pour au moins un  . On arrive à la même conclusion pour n'importe quel univers au plus dénombrable muni de sa tribu discrète.

Théorème d'Ulam (1930)Modifier

Théorème d'Ulam (1930) — Il n'existe pas de probabilité diffuse sur  .

Ce théorème montre que les probabilités sur un tel espace sont nécessairement discrètes[3]. En effet, soit  . Alors, on obtient  , et   est toujours de cardinal au plus  . Par conséquent,   est au plus dénombrable. Or, l'évènement   est  -négligeable, sinon   serait une probabilité diffuse sur   qui a la puissance du continu, ce qui est impossible en vertu du théorème d'Ulam.   est donc  -presque sûr.

RemarquesModifier

  • Comme le montre la démonstration présentée ci-dessous, le résultat d'Ulam est plus général :

Théorème — S'il existe un cardinal   pour lequel il existe une probabilité diffuse sur  , alors celui-ci est supérieur à un cardinal faiblement accessible.

Il suffit donc de supposer que   est inférieur à tout cardinal faiblement inaccessible pour que le théorème d'Ulam soit vrai.

  • Le théorème est faux si on remplace "probabilité diffuse" par "mesure diffuse". En effet, l'application   est une mesure, puisqu'une union dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, et elle est diffuse.

DémonstrationModifier

Lemmes utilesModifier

Lemme (i) — S'il n'existe pas de probabilité diffuse sur  , il n'existe pas non plus de mesure non nulle qui soit bornée et diffuse.

Si   est une mesure non nulle bornée et diffuse sur  , alors   est une probabilité diffuse sur  .

Lemme (ii) — S'il existe une probabilité diffuse   sur   et si   est un évènement non  -négligeable, alors il existe une probabilité diffuse sur   muni de la tribu trace de   sur  

  est une mesure diffuse bornée non nulle donc d'après le lemme (i), il existe une probabilité diffuse sur la tribu trace.

Avec l'hypothèse du continu[4]Modifier

On considère un ensemble   de cardinal  . D'après l'hypothèse du continu, il a la puissance du continu, c'est-à-dire qu'il est équipotent à l'ensemble des nombres réels.

Lemme — Il existe un bon ordre   sur   tel que tous les segments initiaux sont au plus dénombrables, c'est-à-dire :

  est au plus dénombrable.

La démonstration qui suit de ce lemme utilise à la fois l'hypothèse du continu et l'axiome du choix via le théorème de Zermelo.

Notons  . L'axiome du choix nous permet de considérer, pour tout   une injection  , qu'on prolonge en une application   en posant   pour  . Alors posons, pour   et  

 
La collection des   est appelée matrice d'Ulam. On dispose les ensembles ainsi :
 
On remarque alors que :
  • sur chaque ligne, les ensembles sont deux à deux disjoints par injectivité des  .
  • sur chaque colonne, on a :  

Or, quel que soit  , et   fini,   donc   est sommable et nécessairement   est au plus dénombrable, donc   est aussi au plus dénombrable. Par conséquent, comme   est de cardinal strictement supérieur à celui de  , il existe nécessairement une colonne d'indice   dont tous les   sont de probabilité nulle. Donc   par σ-additivité, d'où   et  . Comme   est au plus dénombrable et   σ-additive,   et donc il existe au moins un atome dans  .

Avec les hypothèses d'UlamModifier

L'hypothèse d'Ulam est plus faible : il suppose que tout cardinal inférieur à  est accessible (au sens faible). Plus précisément si on suppose l'existence de  , plus petit cardinal (infini) pour lequel il existe une probabilité diffuse  , alors   est nécessairement faiblement inaccessible.

Proposition I —   est limite i.e.   n'est pas de la forme  .

En effet, si on suppose  , par définition de  , il n'existe pas de mesure non nulle diffuse bornée sur   ni pour les cardinaux inférieurs. On montre alors avec une démonstration du même type que pour   que   ne peut pas être diffuse. On pose  , et on choisit une injection   pour tout  , qui existent nécessairement puisque les segments initiaux propres de   sont de cardinal  . On pose alors pour   :  .

 

Sur chaque ligne, les ensembles sont deux à deux disjoints, et sur chaque colonne,  . Pour   fini,   donc   est sommable et nécessairement   est au plus dénombrable, d'où   est de cardinal au plus   (en effet, cet ensemble s'injecte dans   donc dans  ). Comme  , il existe   tel que  . Posons alors  . On vérifie que c'est une mesure bornée diffuse, elle est donc nécessairement nulle d'après le lemme (i), d'où   et  . D'après le lemme (ii), il existe une probabilité diffuse sur   qui est de cardinal au plus  , ce qui contredit la minimalité de  .

Proposition II —   est régulier i.e. il n'existe pas de   et de suite  , avec   de cardinal   tels que  .

En effet, supposons qu'il existe   et une suite   d'ensembles, chacun de cardinal   tels que  . On peut alors poser,   et pour  ,  . Ainsi construits, les   sont disjoints deux à deux.   est alors une probabilité sur  , qui a au moins un atome sinon cela contredirait la minimalité de  . Il existe donc   tel que  , donc une probabilité diffuse sur   d'après le lemme (ii), ce qui est faux par minimalité de  .

RéférencesModifier

  1. Stefan Banach et Casimir Kuratowski, « Sur une généralisation du problème de la mesure », Fundamenta Mathematicae, vol. 14,‎ , p. 127–131 (ISSN 0016-2736 et 1730-6329, DOI 10.4064/fm-14-1-127-131, lire en ligne, consulté le 3 février 2020)
  2. Stanisław Ulam, « Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre », Fundamenta Mathematicae, vol. 16, no 1,‎ , p. 140–150 (ISSN 0016-2736, lire en ligne, consulté le 4 février 2020)
  3. Daniel Saada, « Les fondements du calcul des probabilités », Conférence APMEP,‎ (lire en ligne)
  4. Daniel SAADA, Tribus et Probabilités sur les univers infinis : deuxième édition, Rambouillet, Art et Poésie, , 340 p. (ISBN 978-2-9525437-5-0, lire en ligne), p. Chapitre 3