Ouvrir le menu principal

Théorème d'Euler (arithmétique)

théorème d'arithmétique
(Redirigé depuis Théorème d'Euler (nombres))
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème d'Euler.

En mathématiques, le théorème d'Euler en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler[1], s'énonce ainsi :

Pour tout entier n > 0 et tout entier a premier avec n (autrement dit : inversible mod n),

φ est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers.

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat, qui ne traite que le cas où n est un nombre premier.

Il signifie que l'exposant λ(n) (appelé l'indicatrice de Carmichael de n) du groupe (ℤ/nℤ)× des inversibles de l'anneau ℤ/n est un diviseur de l'ordre φ(n) de ce groupe (cette propriété, commune à tous les groupes finis, se déduit du théorème de Lagrange sur les groupes).

Il permet la réduction modulo n de puissances. Par exemple, si l'on veut trouver le chiffre des unités de 7222, c'est-à-dire trouver à quel nombre entre 0 et 9 est congru 7222 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que φ(10) = 4. Le théorème d'Euler nous indique donc que On en déduit que Le chiffre recherché est donc 9.

Autre démonstrationModifier

Il existe de nombreuses démonstrations de ce théorème. On a déjà fourni ci-dessus celle qui généralise la preuve du petit théorème de Fermat par le théorème de Lagrange. On peut de même généraliser la démonstration arithmétique élémentaire :

Soient n > 0 et a un entier premier avec n. Notons   la classe modulo   d'un entier  , en particulier  .

La bijection   permet de réécrire le produit   :

 .

On conclut en simplifiant par l'inversible   :

 .

RéférenceModifier

  1. (la) L. Euler, « Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata », Novi Comment. Acad. Sci. Imp. Petrop., vol. 8,‎ , p. 74-104 (lire en ligne) (E271, écrit en 1758 et présenté en 1760).

Article connexeModifier