Théorème d'Erdős-Mordell

Le théorème d'Erdős-Mordell, ou l'inégalité d'Erdős-Mordell, est un théorème de géométrie euclidienne donnant une comparaison entre la somme des distances d'un point aux côtés d'un triangle et la somme des distances aux sommets. Il porte les noms des mathématiciens Paul Erdős qui l'a conjecturé en 1935 et Louis Mordell qui l'a prouvé en 1937, conjointement avec David Francis Barrow (en), en utilisant la trigonométrie. Des preuves plus élémentaires que celle de Mordell furent données par Donat K. Kazarinoff en 1945, puis par Leon Bankoff en 1958.

Illustration du théorème d'Erdős-Mordell : la somme des longueurs des trois segments rouges est supérieure ou égale au double de la somme des longueurs des trois segments noirs.

Énoncé

Pour tout point M intérieur à un triangle ou situé sur sa frontière, la somme des distances de M aux trois sommets est ou supérieure ou égale au double de la somme des distances de M aux [droites portant les] trois côtés, avec égalité si et seulement si le triangle est équilatéral et M en est le centre.

Plus précisément, soit ABC un triangle, M un point intérieur à ce triangle, H, K et L les projetés orthogonaux de M respectivement sur (AC), (BC) et (AB). L'inégalité d'Erdős-Mordell s'énonce :

$MA+MB+MC\geqslant 2(MH+MK+ML)$.

Une démonstration

On montre d'abord $MA\geqslant {\frac {CA\cdot ML+AB\cdot MH}{BC}}$.

D'après la cocyclicité de H, M, L, A (angles droits en H et L) , les angles ${\widehat {HLA}}$ et ${\widehat {HMA}}$ sont égaux.

Notons maintenant E et F les projections orthogonales de B et C sur la droite (LH). On a alors

$BC\geqslant EF=EL+LH+HF$

Les angles opposés par le sommet ${\widehat {BLE}}$ et ${\widehat {HLA}}$ étant égaux, donc aussi ${\widehat {BLE}}$ et ${\widehat {HMA}}$, les triangles rectangles BLE et HMA sont semblables, ce qui implique ${\frac {LE}{MH}}={\frac {BL}{MA}}$. On montre de façon similaire que $FH=ML{\frac {CH}{MA}}$.

On obtient donc $BC\cdot MA\geqslant MA\cdot (EL+LH+HF)=BL\cdot MH+ML\cdot CH+LH\cdot MA$.

D'autre part, le théorème de Ptolémée appliqué au quadrilatère inscriptible ALMH permet d'écrire que $LH\cdot MA=AL\cdot MH+AH\cdot ML$.

En combinant les deux résultats, on obtient l'inégalité voulue. De même, $MB\geqslant {\frac {AB\cdot MK+BC\cdot ML}{CA}}$ et $MC\geqslant {\frac {BC\cdot MH+CA\cdot MK}{AB}}$.

En additionnant membre à membre ces trois inégalités, on obtient bien :

$MA+MB+MC\geqslant \left({\frac {AB}{BC}}+{\frac {BC}{AB}}\right)MH+\left({\frac {AB}{CA}}+{\frac {CA}{AB}}\right)MK+\left({\frac {CA}{BC}}+{\frac {BC}{CA}}\right)ML\geqslant 2(MH+MK+ML)$

car $\left(x+1/x\right)\geqslant 2$ pour tout $x>0$.

La deuxième inégalité est une égalité si et seulement si AB = BC = CA autrement dit si le triangle est équilatéral.

La première inégalité est une égalité si seulement si (EF) est parallèle à (BC) et de même pour les deux autres cas, donc si et seulement si M se trouve sur les trois hauteurs, donc enfin si et seulement si M est le centre du triangle.

Généralisation aux polygones convexes

Pour tout point M intérieur à un polygone convexe à n côtés ou situé sur sa frontière, la somme des distances de M aux n sommets est ou supérieure ou égale à la somme des distances de M aux [droites portant les] n côtés divisée par $\cos {\frac {\pi }{n}}$.

Voir aussi

Article connexe

• Point de Fermat réalisant le minimum de $MA+MB+MC$

• Inégalité de Barrow (en)

Liens externes

• Théorème d'Erdös-Mordell sur bibmath.net
• (en) Erdös-Mordell Inequality sur Cut The Knot