Théorème d'Abel (analyse)

théorème d'analyse

En mathématiques, le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, nommé d'après Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

ÉnoncéModifier

Théorème — Si une série entière   converge en un point  , alors la convergence est uniforme sur   (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment).

La démonstration[1] repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.

Remarque : dans le cas où la série   est absolument convergente, le résultat est trivial. En effet, sous cette hypothèse,   converge même normalement sur le disque fermé de centre   et de rayon  .

ExemplesModifier

  • Soit la série de Mercator
      pour  .
    Comme la série harmonique alternée  converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit sa somme du théorème d'Abel :
     .
  • Soit
      pour  .
    Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que   converge, d'où la formule de Leibniz :
     .
  • Soient   et   deux séries convergentes et   leur produit de Cauchy :
     .
    On déduit du théorème d'Abel[2] que si la série   converge alors sa somme est égale au produit des deux sommes   et   :
     .

Réciproque partielleModifier

Tauber (de)[3] a démontré en 1897[4] que sous l'hypothèse an = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse an = O(1/n) suffit[5]. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood en est une généralisation.

Notes et référencesModifier

  1. Voir par exemple la section correspondante de la leçon « Série entière » sur Wikiversité.
  2. Voir par exemple le chapitre « Produit de Cauchy » de la leçon sur les séries sur Wikiversité.
  3. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Alfred Tauber », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  4. (de) A. Tauber, « Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen », Monatshefte für Mathematik (de), vol. 8,‎ , p. 273-277 (lire en ligne).
  5. Ceci fournit un autre argument pour traiter les deux premiers exemples ci-dessus.

Articles connexesModifier