Test de la dérivée première

En analyse réelle, le test de la dérivée première permet de déterminer l'allure d'une fonction dérivable en étudiant le signe de sa dérivée. Grâce à ce test, on peut déduire les extrema locaux, le sens de variation de f et les points d'inflexion « horizontaux », permettant ainsi de donner une allure du graphe de la fonction .

Cas généralModifier

Soit   avec   un intervalle ouvert réel (par exemple    et   sont des réels). On suppose de plus que   dérivable sur   .

L'étude du signe de la dérivée   permet d'en déduire les variations de la fonction   :

  • Si   est un intervalle tel que pour tout    , alors   est strictement décroissante sur  
  • Si   est un intervalle tel que pour tout    , alors   est strictement croissante sur  
  • Si   est tel que  , alors   admet un extremum local ou un point d'inflexion (suivant si  change de signe en   ou non).

Les points en lesquels   s'annule sont parfois appelés points critiques. Leur étude est très utile quand on s'intéresse aux variations d'une fonction. En effet, si la fonction   change de sens de variation en un point, la dérivée s'annule en ce point. Cependant, la réciproque est fausse dans le cas général :  peut s'annuler sans que   ne change de sens de variation, c'est par exemple le cas lorsque   admet un point d'inflexion horizontal.

ExempleModifier

Soit la fonction polynomiale définie pour tout   par  .

On utilise le test de la dérivée première pour établir le tableau de variation de   et ainsi donner l'allure du graphe de cette fonction.

DérivéeModifier

On commence par calculer la dérivée de   à l'aide des formules usuelles des dérivées. Pour  ,

 

On en déduit que   et donc que la tangente à la courbe de la fonction est horizontale en   et  . De plus, la fonction   est strictement positive sur   et   et strictement négative sur   (voir Fonction du second degré).

Tableau de variationsModifier

Un aperçu de la représentation graphique de   peut être obtenu en regroupant toutes les informations précédentes dans un tableau, appelé tableau de variation.

         
signe de

 

         
variations de

 

             

On remarque que la fonction  change de signe en -1 donc il s'agit bien d'un extremum local, ici un maximum. De même, en 2, la fonction atteint un minimum local. On peut en déduire une esquisse du graphe de  .

Cas multivariéModifier

De manière analogue, on peut déterminer les extrema locaux et globaux d'une fonction réelle à valeurs réelles par l'étude des points d'annulation du gradient.

Articles connexesModifier

SourcesModifier

  1. https://casevitz.users.lmno.cnrs.fr/CSB/chap2.htm