Test de la dérivée première

En analyse réelle, le test de la dérivée première permet de déterminer l'allure d'une fonction réelle f, en étudiant le signe de sa dérivée. On peut en déduire les extrema locaux, le sens de variation de f et les points d'inflexion « horizontaux », ce qui aide à la représentation graphique de la fonction f. Les points où la dérivée de la fonction f est nulle représente soit sur un plateau, soit sur un minimum / maximum local (qui peut être global) ou soit sur un point d'inflexion horizontal.

Il y a trois endroits où une fonction peut avoir un extremum local :

• aux bornes du domaine de la fonction ;
• aux points où la tangente est horizontale (f'(x) = 0) ;
• aux points où la dérivée n'est pas définie (la tangente est verticale ou n'existe pas).

Exemple

Soit la fonction polynomiale $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+10$. Utilisons le test de la dérivée première pour obtenir les extremums, pour éventuellement tracer la représentation graphique de $f$.

Calcul de la dérivée et recherche des zéros

$f'(x)=6x^{2}-6x-12=6(x-2)(x+1)\Leftrightarrow x=-1{\text{ ou }}x=2.$

Donc, la tangente est horizontale en $x=2$ et $x=-1$.

La fonction est ici un polynôme et n'a donc aucune valeur où sa dérivée n'est pas définie. La courbe n'admet donc pas de tangente verticale.

Calcul des variations

La fonction dérivée est ici un polynôme du second degré. Son signe est donc caractérisé par ses racines et son coefficient dominant (ici : $6$, positif). Ainsi, la dérivée est négative entre les zéros et positive ailleurs.

Tableau de valeurs

Un aperçu de la représentation graphique de $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+10$ peut être obtenu en regroupant toutes les précédentes informations obtenues dans un tableau de résumé.

x	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
f'(x)		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
f(x)	$-\infty$	$\nearrow$	$17$	$\searrow$	$-10$	$\nearrow$	$+\infty$

Donc, comme $17$ se trouve dans un « pic » de la fonction, c'est un maximum local. Et comme $-10$ se trouve dans un « creux » de la fonction, c'est un minimum local.

Articles connexes

• Variations d'une fonction
• Test de la dérivée seconde
• Théorème de Fermat sur les points stationnaires