Test de Jarque-Bera

Le test de Jarque-Bera est un test d'hypothèse qui cherche à déterminer si des données suivent une loi normale.

PrésentationModifier

Comme pour chaque test d'hypothèse, il faut poser une hypothèse nulle à valider :

  •  : les données suivent une loi normale.
  •  : les données ne suivent pas une loi normale.

La variable de Jarque-Bera s'écrit

 

avec:

  • n, le nombre d'observations
  • k, le nombre de variables explicatives si les données proviennent des résidus d'une régression linéaire. Sinon, k reste nul.
  • S, le coefficient d'asymétrie de l'échantillon testé.
  • K, la kurtosis de l'échantillon testé.

Mathématiquement, S et K sont définis par:

 

avec   et   les estimateurs du troisième et quatrième moments,   est la moyenne de l'échantillon et   est la variance de l'échantillon.

La statistique JB suit asymptotiquement une loi du χ² à deux degrés de liberté.

Ce test est fréquemment utilisé pour déterminer si les résidus d'une régression linéaire suivent une distribution normale. Certains auteurs[1] proposent de corriger par le nombre k de régresseurs, tandis que d'autres [2] ne le mentionnent pas.

Une loi normale a un coefficient d'asymétrie de 0 et une kurtosis de 3. On saisit alors que si les données suivent une loi normale, le test s'approche alors de 0 et on accepte (ne rejette pas) H0 au seuil α.

Approche plus formelleModifier

Le test de Jarque-Bera ne teste pas à proprement parler si les données suivent une loi normale, mais plutôt si le kurtosis et le coefficient d'asymétrie des données sont les mêmes que ceux d'une loi normale de même espérance et variance.

On a donc:

 

 

Il s'agit d'un test du type multiplicateur de Lagrange.

Logiciels pour le calcul du test de Jarque-BeraModifier

Avec le logiciel libre de statistiques R, il est possible de calculer le test de Jarque-Bera à partir du paquet tseries.

Un autre paquet, normtest, propose plusieurs autres test de normalité.

Pour calculer le test de Jarque-Bera dans un environnement basé sur le langage Python, le paquet "scipy.stats" propose une fonction dédiée nommée "jarque_bera"[3].

RéférencesModifier

Jarque, Carlos M. & Anil K. Bera (1980). Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals. Economics Letters 6 (3): 255–259.

Bera, Anil K., Carlos M. Jarque (1981). Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence. Economics Letters 7 (4): 313–318

Jarque, C. M. & Bera, A. K. (1987), A test for normality of observations and regression residuals, International Statistical Review 55, 163–172.

Notes et référencesModifier

  1. page 275 de Lardic, Mignon (2002), Econométrie des séries temporelles macroénonomiques et financières, Economica, Paris,
  2. page 174 de Verbeek (2000) Modern Econometrics, Wiley
  3. Page d'aide de la fonction dans le paquet "scipy.stats"

Voir aussiModifier

Liens externesModifier

Ricco Rakotomalala, Tests de Normalité, Techniques empiriques et Tests statistiques

Raymond Sneyers, Sur les tests de normalité, Revue de Statistique Appliquée, 2(22), 29-36, 1974.