Surface réglée standard

En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, une surface réglée standard est une variété algébrique, qui propose un modèle simple de surface réglée. On obtient ainsi une classification de toutes les surfaces réglées à isomorphisme algébrique près. désigne dans ce langage l'unique surface réglée possédant une courbe géométriquement intègre d'autointersection .

Version naïveModifier

Ici,   désigne un corps de caractéristique zéro. On réalise une  -forme de cette surface pour tout   entier, on note   le fibré défini de la façon suivante :

On considère deux copies de  , que l'on recolle par l'isomorphisme   défini par   et  .

  désignant un système de coordonnées homogènes de la droite projective  , fibré au-dessus de la droite affine  , dans la première carte.

On note   et   les ouverts (au sens de la topologie de Zariski) isomorphes à   ainsi obtenus.

Les deux morphismes   de   sur   et   de   sur  

se recollent en un morphisme   de   sur   qui fait de   une surface réglée.

La surface obtenue est appelée surface réglée standard d'indice d'autointersection  .

Groupes de diviseursModifier

Quelques courbes tracées sur FmModifier

On définit d'abord des  -courbes :

  la courbe de trace   sur   et   sur  

  la courbe de trace   sur   et   sur  .

Pour tout   (la clôture algébrique de k), on note   la fibre de   au-dessus de  

On observe en second lieu qu'il s'agit de courbes géométriquement intègres, dont on peut calculer les intersections.

Intersections des k-courbes

  • Les courbes   et, pour tout   la fibre   sont des  courbes géométriquement intègres.
  • De plus  ,   et
  • Pour tout   on a  

Ces résultats proviennent essentiellement du fait suivant : Le diviseur de la fonction de   définie par   est   ainsi   et donc  

Le groupe de PicardModifier

Définition d'une base des diviseurs

On note   la classe des diviseurs de la fibre   et   la classe de la courbe  .

Par commodité, on note   de sorte que   ;   ;   ;

Une description classique du groupe des diviseurs montre alors que  .

Enfin on calcule sans difficulté la classe canonique   de   en explicitant une  forme sur  . On obtient  

Intérêt de la représentationModifier

Voici une représentation concrète des surfaces réglées standard dans lesquelles le calcul du groupe de Picard s'effectue de façon relativement immédiate[1].

Pour toutes ces surfaces, il est isomomorphe à  . Cela se comprend intuitivement, les générateurs de ce groupe étant donnés par exemple par les diviseurs  , qui est celui d'une fibre et par le diviseur de restriction   sur la carte  .

Connaissant la classe des diviseurs (dans le groupe de Picard, ) associée à une courbe tracée sur la surface réglée, on peut donc aisément en donner le genre arithmétique d'une courbe.

Un exempleModifier

Si   désigne un polynôme de degré   sans facteur multiple, on note   le polynôme réciproque de  .

La courbe   définie par sa trace sur   par l'équation cartésienne

  et par l'équation   sur la seconde carte

a pour classe de Picard associée :   et pour genre arithmétique :  .

Plus généralement, on peut lire assez facilement sur l'équation cartésienne de la trace d'une courbe dans l'ouvert  , sa classe de Picard, et son genre.

NotesModifier

  1. cat.inist.fr Un exemple d'étude du groupe de Picard des surfaces réglées.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier