Strophoïde

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une courbe strophoïdale, ou simplement une strophoïde, est une courbe engendrée à partir d'une courbe donnée C et de deux points A (le point fixe) et O (le pôle). Dans le cas particulier où C est une droite, A appartient à C, et O n'appartient pas à C, la courbe est appelée une strophoïde oblique. Si, de plus, OA est perpendiculaire à C, la courbe est appelée une strophoïde droite, ou simplement une strophoïde par certains auteurs. La strophoïde droite est aussi parfois appelée courbe logocyclique.

Construction de la strophoïde droite de pôle X et de point fixe O, en prenant pour courbe de base l'axe Oy.

ConstructionModifier

 
Construction d'une strophoïde dans le cas général

La courbe strophoïdale correspondant à la courbe C, au point fixe A et au pôle O est construite de la manière suivante : soit L une droite mobile passant par O et coupant C en K. Soit alors P1 et P2 les deux points de L tels que P1K = P2K = AK. Le lieu géométrique des pointsP1 et P2 est appelé la strophoïde de C relativement au pôle O et au point fixe A. On remarquera que AP1 et AP2 sont orthogonaux.

ÉquationsModifier

Coordonnées polairesModifier

Soit la courbe C donnée par  , où l'origine est prise en O. Soit A le point de coordonnées cartésiennes (a, b). Si   est un point de la courbe, la distance de K à A est

 .

Les points de la droite OK ont pour angle polaire  , et les points à distance d de K sur cette droite sont à une distance   de l'origine. Par conséquent, l'équation de la strophoïde est donnée par

 .

Coordonnées cartésiennesModifier

Soit C d'équations paramétriques (x=x(t),y= y(t)). Soit A le point (a, b) et O le point (p, q). Alors, les formules polaires précédentes montrent que la strophoïde est représentée paramétriquement par :

 

 

Une autre formule polaireModifier

La complexité des formules précédentes limite leur utilité en pratique. Il en existe une forme alternative parfois plus simple, qui est particulièrement utile quand C est une sectrice de Maclaurin (en) de pôles O et A.

Soit O l'origine et A le point (a, 0). Soit K un point de la courbe,   l'angle entre OK et l'axe Ox, et   l'angle entre AK et l'axe Ox. Supposons que   soit donné en fonction de  , sous la forme  . Soit   l'angle en K, donc . On peut déterminer r en fonction de l en utilisant la loi des sinus : comme

 .

Soit P1 et P2 les points de la droite OK à distance AK de K, numérotés de façon que  et  . Le triangle   est isocèle d'angle au sommet  , donc les angles de la base,   et  , valent . L'angle entre AP1 et l'axe Ox est alors

 .

Utilisant le fait que AP1 et AP2 sont perpendiculaires (car le triangleAP1P2 est inscrit dans un demi-cercle), l'angle entre AP2 et l'axe Ox vaut

 .

L'équation polaire de la strophoïde se déduit alors de l1 et l2 d'après les formules précédentes :

 
 

C est une sectrice de Maclaurin de pôles O et A quand l est de la forme   ; dans ce cas l1 et l2 ont la même forme, et la strophoïde est soit une autre sectrice de Maclaurin, soit un couple de sectrices ; on peut en trouver une équation polaire simple si on prend l'origine au symétrique de A par rapport àO.

Cas particuliersModifier

Strophoïdes obliquesModifier

Soit C une droite passant par A. Alors, dans les notations précédentes,  , où   est une constante, et   ;  . Avec l'origine en O, les équations polaires de la strophoïde correspondante, appelée une strophoïde oblique deviennent

 

et

 .

On vérifie facilement que ces deux équations décrivent en fait la même courbe.

Déplaçant l'origine en A (voir, là encore, l'article sectrice de Maclaurin (en)) et remplaçant −a par a, on obtient

  ;

une rotation de   transforme cette équation en

 .

En coordonnées cartésiennes (et en changeant les constantes), on obtient

 .

C'est une cubique, unicursale d'après l'équation polaire. Elle possède un point double en (0, 0), et la droite y=b lui est asymptote.

La strophoïde droiteModifier

 
Strophoïde droite.

Posant   dans

 ,

on obtient

 .

Cette courbe est appelée la strophoïde droite, et correspond au cas où C est l'axe Oy, O est l'origine, et A est le point (a,0).

L'équation cartésienne est

  ;

une représentation paramétrique unicursale est :

 
 .

La courbe ressemble au folium de Descartes, et la droite x = −a est asymptote aux deux branches infinies. La courbe possède deux autres asymptotes "imaginaires" dans le plan complexifié  , données par

 .

Strophoïdes de cercles passant par les points fixesModifier

Soit C un cercle passant par O et A. Prenant O pour origine et A en (a, 0), on obtient, dans les notations précédentes,  , où   est une constante. Ainsi,   et  . Les équations polaires des strophoïdes correspondantes sont alors

 

et

 .

Ce sont les équations de deux cercles passant également par O et A, et formant des angles de   avec C en ces points.

RéférencesModifier

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