Stable (théorie des graphes)

En théorie des graphes, un stable – appelé aussi ensemble indépendant ou independent set en anglais – est un ensemble de sommets deux à deux non adjacents. La taille d'un stable est égale au nombre de sommets qu'il contient.

L'ensemble des sommets en bleu dans ce graphe est un stable maximal du graphe.

Propriétés combinatoiresModifier

La taille maximum d'un stable d'un graphe, noté I(G), est un invariant du graphe. Il peut être relié à d'autres invariants, par exemple à la taille de l'ensemble dominant maximum, noté dom(G). On appelle carré d'un graphe G le graphe G' utilisant les mêmes sommets et ayant une arête entre deux sommets u et v si et seulement s'il existe un chemin de longueur au plus 2 entre u et v dans G. Alors I(G') est inférieure ou égale à dom(G)[1].

Problème algorithmiqueModifier

La recherche d'un stable de taille maximum dans un graphe est un problème classique de la théorie de la complexité. Il est NP-complet et difficile à approximer[2].

Notes et référencesModifier

  1. (en) Vijay Vazirani, Approximation algorithms, Springer Verlag, 2001 (puis 2003), 380 p. (ISBN 978-3-540-65367-7), chap. 5 (« k-center »)
  2. Voir article détaillé.