Sous-espace caractéristique

Définitions

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Soient   un  -espace vectoriel de dimension finie,   un endomorphisme de   et   une valeur propre de  .

On appelle sous-espace caractéristique, sous-espace spectral, ou encore espace propre généralisé de   associé à la valeur propre   le sous-espace vectoriel

 

Id étant l'application identité et   la multiplicité de   dans le polynôme minimal de  . Cet exposant   est celui pour lequel le noyau dans la formule atteint sa dimension maximale : si on le remplace par une valeur plus grande, le noyau ne change plus. Pour cette raison on pourra aussi prendre la multiplicité de   dans le polynôme caractéristique, car celle-ci est toujours supérieure ou égale à  , d'après le théorème de Cayley-Hamilton.

Un vecteur   est un vecteur propre généralisé de   associé à   si   est non nul et s'il existe un entier   tel que  , autrement dit si  .

Propriétés

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Les sous-espaces caractéristiques sont utilisés dans la caractérisation de la trigonalisation d'un endomorphisme.

En effet, un endomorphisme   d'un espace vectoriel   est trigonalisable si et seulement si   est la somme (directe) des sous-espaces caractéristiques de  , c'est-à-dire si et seulement s'il existe une base de   formée de vecteurs propres généralisés de  . Cette caractérisation rejoint celle donnée à l'aide du polynôme caractéristique, qui doit être scindé pour que l'endomorphisme soit trigonalisable.

Articles connexes

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