Sous-espace caractéristique

Définitions

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u un endomorphisme de E et λ une valeur propre de u.

• on appelle sous-espace caractéristique, sous-espace spectral, ou encore espace propre généralisé de u associé à λ le sous-espace vectoriel

$N_{\lambda }(u)=\ker \left[(u-\lambda {\rm {Id}})^{m}\right],$

Id étant l'application identité et m la multiplicité de λ dans le polynôme minimal de u. Cet exposant m est celui pour lequel le noyau dans la formule atteint sa dimension maximale : si on le remplace par une valeur plus grande, le noyau ne change plus. Pour cette raison on pourra aussi prendre la multiplicité de λ dans le polynôme caractéristique, car celle-ci est toujours $\geqslant$ m, d'après le théorème de Cayley-Hamilton.

• un vecteur x est un vecteur propre généralisé de u associé à λ si x est non nul et s'il existe un entier k ≥ 1 tel que x ∈ ker[(u – λId)^k], autrement dit si x ∈ N_λ(u)\{0}.

Intérêt

Les sous-espaces caractéristiques sont utilisés dans la caractérisation de la trigonalisation d'un endomorphisme. En effet, un endomorphisme u d'un espace vectoriel E est trigonalisable si et seulement si E est la somme (directe) des sous-espaces caractéristiques de u, c'est-à-dire si et seulement s'il existe une base de E formée de vecteurs propres généralisés de u. Cette caractérisation rejoint celle donnée à l'aide du polynôme caractéristique, qui doit être scindé pour que l'endomorphisme soit trigonalisable.