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Singularité isolée

(Redirigé depuis Singularité effaçable)

En analyse complexe, une singularité isolée (appelée aussi point singulier isolé) d'une fonction holomorphe f est un point a du plan complexe, tel qu'il existe un voisinage ouvert U de a tel que f soit holomorphe sur U \ {a}.

L'étude des singularités isolées d'une fonction holomorphe est fondamentale dans le calcul des résidus, notamment pour le théorème des résidus.

Les singularités isolées sont à distinguer d'autres singularités apparaissant en analyse complexe, comme les points de branchement et les coupures qui sont associées, comme c'est le cas pour les logarithmes complexes et les racines n-ièmes.

Les singularités isolées se classent en trois types : singularités effaçables (parfois appelées singularités apparentes), pôles et singularités essentielles.

ClassificationModifier

Considérons un ouvert   du plan complexe,   un point de   et   une fonction holomorphe. Le point   est par définition une singularité isolée (ou point singulier isolé). Trois cas peuvent alors se produire.

Singularité effaçableModifier

La singularité   de   est dite effaçable (ou apparente) si   se prolonge au voisinage de   en une fonction holomorphe. Autrement dit, on peut « effacer » la singularité   et étendre   en une fonction holomorphe définie au voisinage de  , que l'on note toujours en général, et de manière abusive,  .

Théorème de prolongement de Riemann — Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. La singularité   de   est effaçable.
  2.   possède un prolongement continu en  .
  3. Il existe un voisinage épointé de   sur lequel   est bornée.
  4.  .

Par exemple, la fonction

 

admet une singularité effaçable en  , puisqu'au voisinage de  ,   donc  , la fonction   reste bornée au voisinage de l'origine.

Si   est une singularité effaçable, alors le résidu de   en   est nul (la réciproque est fausse).

PôleModifier

Article détaillé : Pôle (mathématiques).

La singularité   est appelée un pôle de   si d'une part la singularité est non effaçable et d'autre part pour   entier suffisamment grand, la fonction   se prolonge en une fonction holomorphe en  . Le plus petit entier   possible est appelé l'ordre du pôle  . Il est donc strictement positif et caractérisé, d'après le théorème précédent, par le fait que lorsque   tend vers  ,   tend vers une limite finie non nulle.

De manière équivalente,   est un pôle si et seulement si   tend vers l'infini en  .

Les fractions rationnelles sont des exemples typiques de fonctions présentant des pôles. On peut aussi citer les célèbres fonctions gamma d'Euler et zêta de Riemann qui présentent toutes les deux des pôles.

Une fonction holomorphe n'admettant que des pôles comme singularités isolées est appelée une fonction méromorphe.

Singularité essentielleModifier

Si la singularité   n'est ni une singularité effaçable, ni un pôle, on dit que c'est une singularité essentielle. Si c'est le cas, le comportement de   au voisinage de   est très compliqué. En particulier, on peut citer le théorème de Weierstrass-Casorati et les deux théorèmes de Picard.

Par exemple, la fonction

 

a une singularité essentielle à l'origine.

Série de LaurentModifier

Article détaillé : série de Laurent.

Si f est une fonction holomorphe sur un disque épointé D de centre   et de rayon r (c'est-à-dire le disque de centre   et de rayon r privé du point  ), il existe une unique suite de complexes   telle que sur D:

 

où la série converge normalement sur tout compact du disque épointé D.

On peut lire la nature de la singularité sur la suite des coefficients   d'indice strictement négatif:

Relation série de Laurent/singularité
Nature de la singularité Information sur les coefficients de la série de Laurent
Singularité effaçable Les coefficients an sont nuls pour les indices n<0
Pôle d'ordre k Les coefficients an sont nuls pour les indices n < -k et a-k ≠ 0
Singularité essentielle Il existe une infinité d'indices négatifs n pour lesquels an est non nul

Voir aussiModifier