Silhouette (clustering)

En partitionnement de données (clustering), le coefficient de silhouette est une mesure de qualité d'une partition d'un ensemble de données en classification automatique[1]. Pour chaque point, son coefficient de silhouette est la différence entre la distance moyenne avec les points du même groupe que lui (cohésion) et la distance moyenne avec les points des autres groupes voisins (séparation). Si cette différence est négative, le point est en moyenne plus proche du groupe voisin que du sien : il est donc mal classé. À l'inverse, si cette différence est positive, le point est en moyenne plus proche de son groupe que du groupe voisin : il est donc bien classé.

Le coefficient de silhouette proprement dit est la moyenne du coefficient de silhouette pour tous les points.

Expression

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Position du problème

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Si l'on note   la matrice des données, dont chaque ligne correspond à un individu (ou observation) et chaque colonne correspond à un prédicteur (ou variable). On note   le nombre d'individus et   le nombre de prédicteurs :

 

Notons   la dissimilarité entre les individus   et   (respectivement, ligne   et  de  ). Notons   le nombre de groupes que l'on souhaite former.

Un algorithme de partitionnement donnera une fonction d'attribution   dont on cherche à évaluer la pertinence par un score. L'ensemble des points appartenant à un groupe   est alors donné par  .

Expression du coefficient de silhouette

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Le coefficient (ou score) de silhouette se définit d'abord sur un point   dont le groupe est  . Il se base sur la distance moyenne du point à son groupe :   et la distance moyenne du point à son groupe voisin  . Le coefficient de silhouette du point   s'écrit alors :

 

On peut le moyenner groupe par groupe pour comparer leurs homogénéités : ceux avec les coefficient de silhouette les plus forts sont les plus homogènes. Sur l'ensemble de la classification, il aura pour expression[2] :

 

Propriétés

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Domaine de variation

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Le coefficient de silhouette varie entre -1 (pire classification) et 1 (meilleure classification).

Complexité

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Notes et références

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  1. Peter J. Rousseeuw, « Silhouettes: A graphical aid to the interpretation and validation of cluster analysis », Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 20,‎ , p. 53–65 (ISSN 0377-0427, DOI 10.1016/0377-0427(87)90125-7, lire en ligne, consulté le )
  2. (en) « Clustering Indices », sur cran.r-project.org (consulté le )

Voir aussi

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