Liste de suites de nombres premiers

listes de nombres premiers répondant à des caractéristiques communes

Certains nombres premiers peuvent appartenir à diverses catégories de nombres remarquables.

Autrement dit, des suites (finies ou infinies) de nombres premiers satisfaisant des propriétés particulières communes peuvent être établies, au sein de l'ensemble infini des nombres premiers[1].

Le présent article s'intéresse aux suites de nombres premiers appartenant à diverses catégories remarquables pour leur intérêt mathématique ou parfois ludique.

Il existe des formules qui donnent exclusivement des nombres premiers (nombres de Mills).

Premiers d'une classe de congruenceModifier

Nombre premier de PythagoreModifier

Premier congru à 1 modulo 4.

Entier naturel premier de GaussModifier

Nombre premier qui, dans l'anneau des entiers de Gauss, est aussi un élément premier, c'est-à-dire qui est congru à 3 modulo 4.

Entier naturel premier d'EisensteinModifier

Nombre premier qui, dans l'anneau des entiers d'Eisenstein, est aussi un élément premier, c'est-à-dire qui est congru à –1 modulo 3.

Premiers liés aux puissances de 2Modifier

Nombre de Fermat premierModifier

Premier de la forme  , avec   entier naturel. On n'en connait que cinq :  .

Nombre de Mersenne premierModifier

Premier de la forme  .

Voir aussi : Nombre double de Mersenne (seulement quatre premiers connus : M3, M7, M31 et M127) et Nombre de Catalan-Mersenne (seulement cinq : 2, M2, M3, M7 et M127).

Nombre premier de PierpontModifier

Premier de la forme  .

Nombre de Proth premierModifier

Premier de la forme   avec  .

Nombre de Thebit premierModifier

Premier de la forme  .

Nombre premier de WagstaffModifier

Premier de la forme  .

Nombre premier de WieferichModifier

Premier p tel que p2 divise 2p–1 – 1 (d'après le petit théorème de Fermat, tout nombre premier p > 2 divise le nombre 2p–1 – 1).

Les seuls nombres premiers de Wieferich connus sont 1 093 et 3 511. On ignore si l'ensemble des nombres premiers de Wieferich est fini ou infini.

Nombre de Woodall premierModifier

Premier de la forme  .

Nombre de Cullen premierModifier

Premier de la forme  .

Premiers extraits d'une suite récurrente linéaireModifier

Nombre premier de FibonacciModifier

Nombre de Fibonacci premier.

Nombre premier de LucasModifier

Nombre à la fois premier et de Lucas.

Nombre de Pell premierModifier

Nombre à la fois premier et de Pell.

Nombre de Newman-Shanks-Williams premierModifier

Nombre à la fois premier et de Newman-Shanks-Williams.

Nombre de Perrin premierModifier

Nombre à la fois premier et de Perrin.

n-uplet de nombres premiers distants d'écarts constantsModifier

CouplesModifier

Les suites suivantes concernent les couples de deux nombres premiers (non nécessairement consécutifs) de la forme (p, p + k), où l'écart k est un entier strictement positif. Pour chaque k impair, il existe au plus un couple de nombre premiers distants de k : le couple (2, 2 + k), si 2 + k est premier.

Écarts 2, 4 et 6Modifier

Quelques autres écarts pairsModifier

n-uplets suivantsModifier

Nombre combinatoire premierModifier

Nombre de Bell premierModifier

Premier égal au nombre de partitions d'un ensemble fini.

Nombre premier factorielModifier

Premier de la forme n! ± 1.

Nombre premier primorielModifier

Premier de la forme pn# ± 1.

Nombre d'Euclide premierModifier

Premier de la forme pn# + 1.

Nombre de Motzkin premierModifier

Premier égal au nombre de façons de dessiner des cordes non sécantes entre n points d'un cercle.

Bon nombre premierModifier

Premier   tel que  , où  désigne le  -ième nombre premier.

Nombre presque carré premierModifier

Eric Weisstein propose d'appeler « nombre presque carré » un nombre de la forme   (où, implicitement,   et   sont des entiers relatifs non nuls), et donne des liens vers l'OEIS, pour   compris entre –5 et 5, pour ces suites de nombres, et pour les sous-suites de ceux qui sont premiers[2].

L'OEIS contient également des listes pour   de –6 à –11 ( A056909,  A079138,  A138338,  A138353,  A138355 et  A138362) et de 6 à 8 ( A028880,  A028883 et  A028886).

Exemples
  • Le seul nombre premier de la forme   est 3 et le seul nombre premier de la forme   est 5. Cela est dû au fait que 1 et 4 sont des carrés parfaits :   est un nombre premier si et seulement si   et   est premier.
  • Pour  , les nombres de Fermat  , et même les nombres de Fermat généralisés  , sont de la forme  .
  • Les nombres de Carol   et les nombres de Kynea   sont de la forme  .

Nombre chanceux premierModifier

Nombre premier de ChenModifier

Premier p tel que p + 2 est premier ou semi-premier (c'est-à-dire le produit de deux nombres premiers).

En 1966, Jingrun Chen a démontré qu'il existe une infinité de tels nombres premiers.

Nombre premier cubain (ou cube)Modifier

Premier de la forme  [3] avec   entier strictement positif et   égal à   ou à  .

Nombre premier équilibréModifier

Nombre premier situé à égale distance des premiers précédent et suivant.

Nombre fortuné premierModifier

Pour tout entier  , le  -ième nombre fortuné (suite A005235 de l'OEIS) est l'entier   défini par :   est le plus petit nombre premier strictement supérieur au nombre d'Euclide  .

On conjecture que tout nombre fortuné est premier.

Nombre premier harmoniqueModifier

Pour tout premier  , le numérateur du n-ième nombre harmonique   est divisible par   au moins pour les trois valeurs  ,   et  . Le nombre premier p est dit harmonique si ces trois valeurs sont les seules.

Les nombres premiers harmoniques sont 5, 13, 17, 23, 41, 67, etc. (suite A092101 de l'OEIS). On conjecture qu'il en existe une infinité[4],[5].

Nombre premier de HiggsModifier

Premier   pour lequel   divise le carré du produit de tous les nombres premiers de Higgs inférieurs.

Nombre premier longModifier

Premier   tel que dans une base donnée   non divisible par  , l'entier   soit cyclique.

Nombre de Markov premierModifier

Premier   pour lequel il existe des entiers   et   tels que  .

Nombre premier de PillaiModifier

Premier   pour lequel il existe un entier   tel que   divise   et   ne divise pas  .

Nombre premier de RamanujanModifier

Le n-ième nombre premier de Ramanujan est le plus petit entier à partir duquel la fonction « nombre de nombres premiers entre   et   » est minorée par  .

Nombre premier régulierModifier

Nombre premier   ne divisant pas le nombre de classes du corps cyclotomique ℚ(ζp). Les nombres premiers impairs non réguliers sont dits irréguliers.

Nombre premier de Sophie GermainModifier

Premier   tel que   soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier sûr.

Nombre premier de SternModifier

Premier qui n'est pas de la forme   avec   premier et   entier non nul. Les huit connus (2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493) sont peut-être les seuls.

Nombre premier supersingulierModifier

Premier correspondant à une courbe elliptique ayant des propriétés exceptionnelles.

Il en existe exactement quinze : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71.

Nombre premier sûrModifier

Premier   tel que   soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier de Sophie Germain.

Nombre premier uniqueModifier

Premier   pour lequel la période du développement décimal de   est unique (aucun autre premier ne donne la même).

Nombre premier de Wall-Sun-SunModifier

Premier p dont le carré divise F(p(p/5)). On ignore s'il en existe.

Paire de WieferichModifier

Une paire de nombres premiers   est dite de Wieferich (en) si q p–1 ≡ 1 (mod p2) et doublement de Wieferich si de plus p q–1 ≡ 1 (mod q2).

Nombre premier de WilsonModifier

Premier p tel que p2 divise (p – 1)! + 1.

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wilson mais on n'en connaît que trois : 5, 13 et 563 (suite A007540 de l'OEIS).

Nombre premier de WolstenholmeModifier

Premier p pour lequel le coefficient binomial   est congru à 1 mod p4.

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wolstenholme mais on n'en connaît que deux : 16 843 et 2 124 679.

Premiers extraits d'une constanteModifier

Nombre premier de MillsModifier

Partie entière de  pour un entier n > 0, où θ est la constante de Mills (le plus petit réel pour lequel tous ces entiers sont premiers).

Nombre premier issu de la partie entière de puissances d'une constanteModifier

Premier égal à la partie entière, par défaut ou par excès, d'une puissance entière d'une constante égale à e[6], π[7] ou φ[8].

Nombre premier issu de troncature de constanteModifier

Premier dont les   chiffres sont les   premiers chiffres, en base dix, d'une constante mathématique (virgule éventuelle non prise en compte)[9].

Exemples :

Constante Symboles usuels Valeur approchée par défaut à 10–9 près
(suite OEIS des chiffres de l'approximation)
Nombre n de chiffres de p
(suite OEIS de ces nombres)
Nombres premiers p obtenus
(suite OEIS de ces nombres premiers)
Constante d'Apéry ζ(3) 1,202 056 903
( A002117)
10, 55, …
( A119334)
1 202 056 903, …
( A119333)
Constante de Catalan K ou β(2) 0,915 965 594
( A006752)
52, …
( A118328)

( A118329)
Constante de Copeland-Erdős 0,235 711 131
( A33308)
1, 2, 4, 11, …
( A227530)
2, 23, 2 357, …
(les nombres de Smarandache-Wellin premiers forment une sous-suite)
Constante de Néper e 2,718 281 828
( A001113)
1, 3, 7, 85, …
( A064118)
2, 271, 2 718 281, …
( A007512)[6]
Constante d'Euler-Mascheroni γ 0,577 215 664
( A001620)
1, 3, 40, …
( A065815)
5, 577, …
(suite non disponible)
Constante de Glaisher-Kinkelin (en) A 1,282 427 129
( A074962)
7, 10, 18, …
( A118420)
1 282 427, 1 282 427 129, …
( A118419)
Constante de Golomb-Dickman (en) λ, μ 0,624 329 988
( A084945)
6, 27, …
( A174974)
624 329, …
( A174975)
Nombre d'or φ 1,618 033 988
( A001622)
7, 13, …
( A064119)
1 618 033, …
( A064117)[8]
Constante de Khinchin K 2,685 452 001
( A002210)
1, 407, …
( A118327)
2, …
(suite non disponible)
Constante pi π 3,141 592 653
( A000796)
1, 2, 6, 38, …
( A060421)
3, 31, 314 159, …
( A005042)[7]
Constante de Pythagore 2 1,414 213 562
( A002193)
55, …
( A115377)

( A115453)
Constante de Ramanujan-Soldner μ 1,451 369 234
( A070769)
4, 144, …
( A122422)
1 451, …
( A122421)
Constante de Théodorus 3 1,732 050 807
( A002194)
2, 3, 19, …
( A119344)
17, 173, …
( A119343)

CuriositésModifier

Dans cette section, les nombres sont exprimés en base dix.

Nombre premier diédralModifier

Premier qui le reste lorsqu'il est observé, normalement ou tête en bas, en vue directe ou en réflexion dans un miroir, sur un afficheur 7 segments (le 1 est supposé être écrit à l'anglaise, comme une barre). Ce nom vient du fait que[réf. nécessaire] le groupe de symétrie du rectangle est le groupe diédral D4 (le groupe de Klein). Ces nombres forment la suite A134996 de l'OEIS : 2, 5, 11, 101, 181, etc. Leurs seuls chiffres possibles sont 0, 1, 2, 5 et 8.

Le nombre à 180 055 chiffres 10180 054 + 8R58 5671060 744 + 1 (où Rn est un répunit) est de plus premier palindrome. Lors de sa découverte en 2009 (par Darren Bedwell), il était le plus grand nombre premier diédral connu.[réf. nécessaire]

Nombre premier palindromeModifier

Nombres à la fois premiers et palindromes, formant la suite A002385 de l'OEIS : 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, etc.

Nombre tétradique premierModifier

Un nombre est dit tétradique[10] s'il reste inchangé lorsque ses chiffres sont mis tête en bas ou sont inversés par des symétries centrales, c'est-à-dire[pas clair] si c'est un nombre palindrome n'utilisant que les chiffres 0, 1 et 8.

Ceux qui sont premiers forment la suite A068188 de l'OEIS (11, 101, 181, etc.), dont le plus grand connu, en 2010, était le nombre premier diédral de 180 055 chiffres mentionné ci-dessus.

Nombre premier permutableModifier

Premier dont toute permutation des chiffres est première, comme 13 ou 113 ou comme le répunit premier 11 (en base dix).

ReimerpModifier

Premier devenant un premier distinct lorsque ses chiffres sont inversés, comme 13 ou 107 (« reimerp » vient du mot « premier » épelé à l'envers).

Nombre premier tronquableModifier

Un nombre premier est dit :

  • tronquable à droite s'il reste premier lorsque ses derniers chiffres sont successivement enlevés ;
  • tronquable à gauche s'il ne contient pas le chiffre 0 et s'il reste premier lorsque ses premiers chiffres sont successivement enlevés.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dihedral prime » (voir la liste des auteurs).

RéférencesModifier

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Integer Sequence Primes », sur MathWorld.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Near-Square Prime », sur MathWorld.
  3. D'où le nom (rôle joué par les cubes), villemin.gerard.free.fr Nombres - Curiosités, théorie et usages : nombres premiers cubes.
  4. (en) Arulappah Eswarathasan et Eugene Levine, « p-Integral harmonic sums », Discrete Math., vol. 91,‎ , p. 249-257 (DOI 10.1016/0012-365X(90)90234-9).
  5. (en) David W. Boyden, « A p-adic study of the partial sums of the harmonic series », Exper. Math., vol. 3, no 4,‎ , p. 287-302 (lire en ligne).
  6. a et b (en) Eric W. Weisstein, « e-Prime », sur MathWorld.
  7. a et b (en) Eric W. Weisstein, « Pi-Prime », sur MathWorld.
  8. a et b (en) Eric W. Weisstein, « Phi-Prime », sur MathWorld.
  9. (en) Eric W. Weisstein, « Constant Primes », sur MathWorld.
  10. (en) Eric W. Weisstein, « Tetradic Number », sur MathWorld.

Voir aussiModifier

Liens externesModifier