Sédénion

forme une algèbre non commutative et non associative à 16 dimensions sur les réels, obtenue en appliquant la construction de Cayley–Dickson aux octonions

En mathématiques, les sédénions forment une algèbre réelle de dimension 16, notée . Leur nom provient du latin sedecim qui veut dire seize. Deux sortes sont actuellement connues :

Les sédénions de la construction de Cayley-DicksonModifier

À l'instar des octonions, la multiplication des sedénions n'est ni commutative ni associative. De plus, par rapport aux octonions, les sédénions perdent la propriété d'être alternatifs. Par contre, comme ces derniers, ils sont associatifs des puissances, c’est-à-dire que les puissances sont univoquement définies.

Les sédénions ont un élément neutre multiplicatif 1 et des inverses pour la multiplication, mais ils ne forment pas une algèbre à division. Cela parce qu'ils ont des diviseurs de zéro.

Chaque sedénion est une combinaison linéaire, à coefficients réels, des sédénions unités 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14 et e15, qui forment la base canonique de l'espace vectoriel des sédénions. La table de multiplication de ces sédénions unitaires est établie comme suit :

× 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e1 e1 -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e6 e9 -e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14
e2 e2 -e3 -1 e1 e6 e7 -e4 -e5 e10 e11 -e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13
e3 e3 e2 -e1 -1 e7 -e6 e5 -e4 e11 -e10 e9 -e8 -e15 e14 -e13 e12
e4 e4 -e5 -e6 -e7 -1 e1 e2 e3 e12 e13 e14 e15 -e8 -e9 -e10 -e11
e5 e5 e4 -e7 e6 -e1 -1 -e3 e2 e13 -e12 e15 -e14 e9 -e8 e11 -e10
e6 e6 e7 e4 -e5 -e2 e3 -1 -e1 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 -e8 e9
e7 e7 -e6 e5 e4 -e3 -e2 e1 -1 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 -e8
e8 e8 -e9 -e10 -e11 -e12 -e13 -e14 -e15 -1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e9 e9 e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14 -e1 -1 -e3 e2 -e5 e4 e7 -e6
e10 e10 e11 e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13 -e2 e3 -1 -e1 -e6 -e7 e4 e5
e11 e11 -e10 e9 e8 -e15 e14 -e13 e12 -e3 -e2 e1 -1 -e7 e6 -e5 e4
e12 e12 e13 e14 e15 e8 -e9 -e10 -e11 -e4 e5 e6 e7 -1 -e1 -e2 -e3
e13 e13 -e12 e15 -e14 e9 e8 e11 -e10 -e5 -e4 e7 -e6 e1 -1 e3 -e2
e14 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 e8 e9 -e6 -e7 -e4 e5 e2 -e3 -1 e1
e15 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 e8 -e7 e6 -e5 -e4 e3 e2 -e1 -1

Les sédénions coniques / algèbre M à 16-dim.Modifier

ArithmétiqueModifier

À la différence des sédénions issus de la construction de Cayley-Dickson, qui sont construits sur l'unité (1) et 15 racines de l'unité négative (-1), les sédénions coniques sont construits sur 8 racines carrées de l'unité positive et négative. Ils partagent la non-commutativité et la non-associativité avec l'arithmétique des sédénions de Cayley-Dickson ("sédénions circulaires"), néanmoins les sédénions coniques sont modulaires et alternatifs.

Les sédénions coniques contiennent à la fois les sous-algèbres des octonions circulaires, les octonions coniques et les octonions hyperboliques. Les octonions hyperboliques sont de manière calculatoire équivalents aux octonions déployés.

Les sédénions coniques contiennent des éléments idempotents, nilpotents et donc, des diviseurs de zéro.

BibliographieModifier

  • Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions, Applied Mathematics and Computation 28:47-72 (1988)
  • Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results, Applied Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997)
  • Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Part III, Online at http://www.kevincarmody.com/math/sedenions3.pdf (2006)
  • K. Imaeda et M. Imaeda, Sedenions: algebra and analysis, Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)