Relaxation lagrangienne

La relaxation lagrangienne est une technique de relaxation qui consiste à supprimer des contraintes difficiles en les intégrant dans la fonction objectif en la pénalisant si ces contraintes ne sont pas respectées.

Description mathématiqueModifier

Étant donné un problème d'optimisation linéaire   et   sous la forme suivante :

max  
s.c.
 

Si on sépare les contraintes de   en  ,   avec   et   tels que   on peut réécrire le système sous la forme :

max  
s.c.
(1)  
(2)  

Supposons que les contraintes (2) soient difficiles, on les introduit dans la fonction objectif:

max  
s.t.
(1)  

Si   sont des pénalités positives, on est pénalisé si la contrainte (2) est violée. D'un autre côté, si on veut garder une fonction objectif linéaire, on est récompensé si on suit strictement la fonction objectif. Le système ci-dessus est appelé la relaxation lagrangienne du problème.

On cherchera alors à résoudre le dual de cette relaxation par différentes méthodes comme la méthode des faisceaux, la génération de colonnes ou la plus utilisée, la descente de sous-gradient et ses variations.