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Regroupement hiérarchique

La classification ascendante hiérarchique (CAH)Modifier

C'est une méthode de classification automatique utilisée en analyse des données ; à partir d'un ensemble   de n individus, son but est de répartir ces individus dans un certain nombre de classes.

La méthode suppose qu'on dispose d'une mesure de dissimilarité entre les individus; dans le cas de points situés dans un espace euclidien, on peut utiliser la distance comme mesure de dissimilarité. La dissimilarité entre des individus x et y sera notée  .

La classification ascendante hiérarchique [1]est dite ascendante car elle part d'une situation où tous les individus sont seuls dans une classe, puis sont rassemblés en classes de plus en plus grandes. Le qualificatif hiérarchique vient du fait qu'elle produit une hiérarchie H, l'ensemble des classes à toutes les étapes de l'algorithme, qui vérifie les propriétés suivantes :

  •   : au sommet de la hiérarchie, lorsqu'on groupe de manière à obtenir une seule classe, tous les individus sont regroupés ;
  •   : en bas de la hiérarchie, tous les individus se trouvent seuls ;
  •   ou   ou   : si l’on considère deux classes du regroupement, alors soit elles n'ont pas d’individu en commun, soit l'une est incluse dans l’autre.

AlgorithmeModifier

PrincipeModifier

Initialement, chaque individu forme une classe, soit n classes. On cherche à réduire le nombre de classes à  , ceci se fait itérativement. À chaque étape, on fusionne deux classes, réduisant ainsi le nombre de classes. Les deux classes choisies pour être fusionnées sont celles qui sont les plus « proches », en d'autres termes, celles dont la dissimilarité entre elles est minimale, cette valeur de dissimilarité est appelée indice d'agrégation. Comme on rassemble d'abord les individus les plus proches, la première itération a un indice d'agrégation faible, mais celui-ci va croître d'itération en itération.

Mesure de dissimilarité inter-classeModifier

La dissimilarité de deux classes   contenant chacune un individu se définit simplement par la dissimilarité entre ses individus.  

Lorsque les classes ont plusieurs individus, il existe de multiples critères qui permettent de calculer la dissimilarité. Les plus simples sont les suivants :

  • Le saut minimum retient le minimum des distances entre individus de   et   :   ;
  • Le saut maximum est la dissimilarité entre les individus de   et   les plus éloignés :   ;
  • Le lien moyen consiste à calculer la moyenne des distances entre les individus de   et   :   ;
  • La distance de Ward vise à maximiser l'inertie inter-classe :   avec   et   les effectifs des deux classes,   et   leurs centres de gravité respectifs.

Implémentation en pseudo-codeModifier

Entrées :

  • individus : liste d'individus
  • nbClasses : nombre de classes que l'on veut finalement obtenir

Sortie :

  • classes : liste de classes initialement vide, une classe est vue comme une liste d'individus
Pour i=1 à individus.longueur Faire
    classes.ajouter(nouvelle classe(individu[i]));
Fin Pour
Tant Que classes.longueur > nbClasses Faire
    // Calcul des dissimilarités entre classes dans une matrice triangulaire supérieure
    matDissim = nouvelle matrice(classes.longueur,classes.longueur);
    Pour i=1 à classes.longueur Faire
        Pour j=i+1 à classes.longueur Faire
            matDissim[i][j] = dissim(classes[i],classes[j]);
       Fin Pour
    Fin Pour
    // Recherche du minimum des dissimilarités
    Soit (i,j) tel que matDissim[i][j] = min(matDissim[k][l]) avec 1<=k<=classes.longueur et k+1<=l<=classes.longueur;
    // Fusion de classes[i] et classes[j]
    Pour tout element dans classes[j] Faire
        classes[i].ajouter(element);
    Fin pour
    supprimer(classes[j]);
Fin Tant Que

DendrogrammeModifier

Voir l'article : dendrogramme.
 
Exemple de dendrogramme.

Un dendrogramme est la représentation graphique d'une classification ascendante hiérarchique ; Il se présente souvent comme un arbre binaire dont les feuilles sont les individus alignés sur l'axe des abscisses. Lorsque deux classes ou deux individus se rejoignent avec l'indice d'agrégation  , des traits verticaux sont dessinés de l'abscisse des deux classes jusqu'à l'ordonnée  , puis ils sont reliés par un segment horizontal. À partir d'un indice d'agrégation  , on peut tracer une droite d'ordonnée   qui permet de voir une classification sur le dendrogramme.
Des versions plus complexes d'arbre de classification peuvent éventuellement aider à construire un arbre de décision.

Voir aussiModifier

Liens externesModifier

BibliographieModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) Gabor J. Székely et Maria L. Rizzo, « Hierarchical clustering via Joint Between-Within Distances: Extending Ward's Minimum Variance Method. », Journal of Classification, vol. 22, no 2,‎ , p. 151-183 (DOI 10.1007/s00357-005-0012-9)