Rapidité (relativité)

En relativité restreinte, la rapidité[1],[N 1] ou pseudo-vitesse[1],[N 2] est une mesure du mouvement. À faible vitesse, la rapidité et la vitesse sont égales (au coefficient multiplicateur c près), mais contrairement à la vitesse qui tend asymptotiquement vers la vitesse de la lumière, la rapidité continue à augmenter linéairement à l'infini. L'intérêt de la rapidité vient du fait que, de par son caractère linéaire, elle préserve la relation de la mécanique classique entre vitesse et accélération (un voyageur peut donc calculer sa rapidité en intégrant dans le temps, une mesure fournie par un accéléromètre). La rapidité permet aussi d'exprimer les transformations de Lorentz comme rotation hyperbolique dans l'espace de Minkowski.

La rapidité est une quantité sans dimension[3],[4].

La rapidité est rarement utilisée dans les calculs car elle est moins pratique que la quadrivitesse dans les formules d'invariance de l'impulsion. De plus, elle nécessite de choisir un référentiel qui isole le vecteur vitesse ou de la différence des vitesses sur un seul axe.

DéfinitionModifier

La rapidité   d'un objet par rapport à un référentiel inertiel est l'argument hyperbolique défini par[5] :

 ,

et par[6] :

 ,

où :

DétailsModifier

Soit un corps se déplaçant à la vitesse   par rapport à un référentiel R, qui lui-même se déplace à la vitesse   par rapport à un autre référentiel R', en supposant que  . La vitesse du corps par rapport à ce second référentiel est  , calculée par :  

En posant   on obtient, avec l'hypothèse que   et avec les formules de trigonométrie hyperbolique :  

HistoireModifier

La rapidité est une des notions introduites dès [8] par Hermann Minkowski (-)[9]. Mais celui-ci préfère employer le produit plutôt que φ[9]. Le produit est aussi employé en par Arnold Sommerfeld (-) afin de réduire les transformations de Lorentz spéciales à de la trigonométrie ordinaire au moyen des angles imaginaires[9]. En , la rapidité apparaît chez Vladimir Varićak (-)[10],[11] et Edmund T. Whittaker (-)[12]. Le terme « rapidité » a été proposé en [13] par Alfred A. Robb (-)[9].

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. En anglais : rapidity[2].
  2. En anglais : pseudo-velocity[2].

RéférencesModifier

  1. a et b Semay et Silvestre-Brac 2021, sect. 2.1, p. 30.
  2. a et b Woodhouse 2014, § 3.2.4, p. 45, col. 2.
  3. Pérez 2016, chap. 2, § I.3, b), p. 24.
  4. Semay et Silvestre-Brac 2016, chap. 2, sect. 2.1, p. 30.
  5. Gourgoulhon 2010, § 6.5.3, p. 204 (6.80).
  6. Gourgoulhon 2010, § 6.5.3, p. 204 (6.81).
  7. Gourgoulhon 2010, § 6.5.3, p. 204.
  8. Minkowski 1908.
  9. a b c et d Gourgoulhon 2010, § 6.5.3, n. historique, p. 206.
  10. Varićak 1910a.
  11. Varićak 1910b.
  12. Whittaker 1910.
  13. Robb 1911.

BibliographieModifier

  • [Minkowski 1908] (de) Hermann Minkowski, « Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern » [« Les équations fondamentales des phénomènes électromagnétiques dans les corps en mouvement »], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse,‎ , p. 53-111 (lire sur Wikisource, lire en ligne).
  • [Varićak 1910a] (de) Vladimir Varićak, « Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in die Relativtheorie », Physikalische Zeitschrift, vol. 11,‎ , p. 93-96 (lire sur Wikisource).
  • [Varićak 1910b] (de) Vladimir Varićak, « Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie », Physikalische Zeitschrift, vol. 11,‎ , p. 287-293 (lire sur Wikisource).
  • [Whittaker 1910] (en) Edmund T. Whittaker, A history of the theories of aether and electricity from the age of Descartes to the close of the nineteenth century, Londres et Dublin, Longmans, Green and C° et Hodge, Figgis and C°, coll. « Dublin University Press Series », , 1re éd., XIII-475 p., 22 cm (OCLC 493623032, SUDOC 089168348, lire en ligne).
  • [Robb 1911] (en) Alfred A. Robb, Optical geometry of motion : a new view of the theory of relativity [« Géométrie optique du mouvement : une nouvelle vision de la théorie de la relativité »], Cambridge, W. Heffer, , 1re éd., 1 vol., [II]-32, 23 cm (OCLC 12875850, lire en ligne).

Manuels d'enseignement supérieurModifier

Dictionnaires et encyclopédiesModifier