Racine carrée fonctionnelle
En mathématiques, une racine carrée fonctionnelle est une racine carrée d'une fonction vis-à-vis de l'opération de composition de fonctions. Autrement dit, une racine carrée fonctionnelle d'une fonction g est une fonction f satisfaisant f(f(x)) = g(x) pour tout x.
Notation modifier
Des notations possibles pour indiquer que f est une racine carrée fonctionnelle de g sont f = g[1/2] et f = g1/2.
Historique modifier
- La racine carrée fonctionnelle de la fonction exponentielle, maintenant appelée fonction demi-exponentielle, a été étudiée par Hellmuth Kneser en 1950[1].
- Les solutions de f(f(x)) = x sur (c'est-à-dire les involutions des nombres réels) ont d'abord été étudiées par Charles Babbage en 1815 et ce problème porte le nom d'équation fonctionnelle de Babbage[2]. Une solution particulière est f(x) = (b − x)/(1 + cx) pour bc ≠ −1[3]. Babbage remarqua que pour une solution f donnée, sa conjuguée topologique Ψ−1 ∘ f ∘ Ψ par une fonction inversible quelconque Ψ est encore une solution. En d'autres mots, le groupe de toutes les fonctions inversibles sur les réels agit sur le sous-groupe des solutions de l'équation fonctionnelle de Babbage par conjugaison.
Solutions modifier
Un procédé pour produire des racines n-ièmes fonctionnelles pour des n quelconques est basé sur l'utilisation de l'équation de Schröder[4],[5],[6].
Exemples modifier
- f(x) = 2x2 est une racine carrée fonctionnelle de g(x) = 8x4.
- Une racine carrée fonctionnelle du n-ème polynôme de Tchebychev, g(x) = Tn(x), est f(x) = cos(√n arccos(x)), qui en général n'est pas elle-même un polynôme.
- f(x) = x/(√2 + x(1 − √2)) est une racine carrée fonctionnelle de g(x) = x/(2 − x).
Voir aussi modifier
Notes et références modifier
- (de) H. Kneser, « Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x)) = ex und verwandter Funktionalgleichungen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 187, , p. 56–67 (lire en ligne)
- (en) Jeremy Gray (dir.) et Karen Parshall (dir.), Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950), Providence (R.I.), American Mathematical Society, , 336 p. (ISBN 978-0-8218-4343-7)
- Plus rigoureusement, c'est une solution sur , avec et .
- (de) E. Schröder, « Ueber iterirte Functionen », Mathematische Annalen, vol. 3, no 2, , p. 296–322 (DOI 10.1007/BF01443992)
- (en) G. Szekeres, « Regular iteration of real and complex functions », Acta Mathematica, vol. 100, nos 3–4, , p. 361–376 (DOI 10.1007/BF02559539)
- (en) T. Curtright, C. Zachos et X. Jin, « Approximate solutions of functional equations », Journal of Physics A, vol. 44, no 40, , p. 405205 (DOI 10.1088/1751-8113/44/40/405205, Bibcode 2011JPhA...44N5205C, arXiv 1105.3664)
