Régime semi-classique

Le régime semi-classique d'un système physique en mécanique quantique est le régime pour lequel les actions du système physique étudié sont grandes devant le quantum d'action $\hbar$. Mathématiquement, cela revient à effectuer un développement asymptotique des grandeurs quantiques au voisinage de $\hbar =0$.

L'étude du régime semi-classique est en général non-triviale, car la limite $\hbar \to 0$ de la mécanique quantique est singulière au sens de la théorie des perturbations. Pour illustrer ce point, considérons par exemple une particule non relativiste de masse m soumise à une force conservative dérivant de l'énergie potentielle $V({\vec {r}})$. La recherche des états propres de l'énergie passe par la résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

$-\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\ \Delta \psi _{n}({\vec {r}})\ +\ V({\vec {r}})\ \psi _{n}({\vec {r}})\ =\ E_{n}\ \psi _{n}({\vec {r}})$

dont la limite $\hbar =0$ est singulière, car ce n'est plus une équation aux dérivées partielles, la limite portant notamment sur le terme de plus haut degré.

Articles liés

• Approximation BKW
• Physique semi-classique
• Formule des traces de Gutzwiller
• Théorie des perturbations
• Géométrie spectrale
• Opérateur pseudo-différentiel
• Opérateur Fourier intégral
• Analyse microlocale

Bibliographie

Revues générales

• (en) Michael Berry et K. E. Mount, « Semiclassical approximations in wave mechanics », Reports on Progress in Physics 35 (1972), 315-397. pdf.
• (en) Michael Berry, « Some quantum-to-classical asymptotics », Chaos & Quantum Physics, Les Houches Lecture Series LII eds. M-J Giannoni, A Voros et J. Zinn-Justin, North-Holland (1989), 251-304. pdf.
• André Voros, « Aspects de la limite (semi)-classique », dans Journées X-UPS, vol. 5, 1987/1988 (présentation en ligne).
• (en) André Voros, « Semi-classical approximations », Annales de l'institut Henri Poincaré A 24 (1) (1976), 31-90. Numdam.

Aspects mathématiques

• Bernard Helffer, 30 ans d'analyse semi-classique : bibliographie commentée (essai inachevé), 2003, PostScript.
• (en) Didier Robert, « Semi-classical approximation in quantum mechanics. A survey of old and recent mathematical results », Helvetica Physica Acta 71 (1) (1997), 44-116.
• (en) André Martinez, An Introduction to Semiclassical and Microlocal Analysis, Springer-Verlag, 2002 (ISBN 0387953442).
• Didier Robert, Autour de l'approximation semi-classique, Progress in Mathematics 68, Birkhäuser, 1987.
• (en) Bernard Helffer, Introduction to the semi-classical Analysis for the Schrödinger operator and applications, Lecture Notes in Mathematics 1336, Springer-Verlag (1986).
• Victor Pavlovich Maslov (de), Théorie des perturbations et méthodes asymptotiques, Dunod, 1972.
• Bernard Helffer, André Martinez et Didier Robert, « Ergodicité et limite semi-classique », Commun. Math. Phys. 109 (1987), 313-326.
• (en) Bernard Helffer, « h-pseudodifferential operators and applications: an introduction », Tutorial Lectures in Minneapolis. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications 95 : Quasiclassical Methods, Springer Verlag, 1997, 1-50.
• (en) Mouez Dimassi et Johannes Sjöstrand, Spectral Asymptotics in the Semi-Classical Limit, Cambridge University Press, 1999 (ISBN 0521665442).