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M-tuplet diophantien

(Redirigé depuis Quintuple diophantien)

  est un carré parfait pour tout . Un ensemble de m nombres rationnels positifs où le produit de deux plus un est un carré rationnel est dit m-tuplet diophantien rationnel.

Diophantine m-tupletsModifier

Le premier quadruplet diophantien a été trouvé par Fermat . Il a été prouvé en 1969 par Baker et Davenport  qu'un cinquième entier ne peut pas être ajouté à cet ensemble. Cependant, Euler a été en mesure d'étendre cet ensemble en ajoutant le nombre rationnel  .

La question de l'existence de quintuplets diophantiens (entiers) était l'un des plus anciens problèmes non résolus de la théorie des nombres. En 2004, Andrej Dujella a montré qu'il existe au plus un nombre fini de quintuplets diophantiens.[1] En 2016 une résolution a été proposée par He, Togbé et Ziegler, sous réserve d'un évaluation par les pairs[2].

Le cas rationnelModifier

Diophantea trouvé le quadruplet diophantien rationnel  . Plus récemment, Philip Gibbs a trouvé des ensembles de six rationnels positifs formant des sextuplets rationnels.[3] On ne sait pas s'il existe des m-uplets diophantiens rationnels plus grands, ou s'il existe une borne supérieure, mais il est connu qu'aucun ensemble infini n'est m-tuplet diophantien[4].


RéférencesModifier

  1. Andrej Dujella, « There are only finitely many Diophantine quintuples », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 2004, no 566,‎ , p. 183–214 (DOI 10.1515/crll.2004.003)
  2. (en) Auteur inconnu « There is no Diophantine Quintuple », {{{year}}}.
  3. (en) Auteur inconnu « A Generalised Stern-Brocot Tree from Regular Diophantine Quadruples », .
  4. E. Herrmann, A. Pethoe et H. G. Zimmer, « On Fermat's quadruple equations », Math. Sem. Univ. Hamburg, vol. 69,‎ , p. 283–291 (DOI 10.1007/bf02940880)

Liens externesModifier