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Page d'aide sur l'homonymie Cet article concerne le quadrupôle en électrostatique. Pour le quadrupôle (ou quadripôle) en électrocinétique, voir Quadripôle.

En électrostatique, un quadrupôle est une distribution de charges telle que les barycentres des charges positives et des charges négatives soient confondus.

Analyse du quadrupôleModifier

Soit une distribution   de charges   aux points  . Cette distribution   à support compact crée à une grande distance des charges (pour  , avec   longueur caractéristique de la distribution) un potentiel  .

On définit :

  •  
  •   la somme des charges
  •  , indépendant de   si  , nul si   est choisi barycentre des charges
  •  , le moment d'inertie par rapport à  
  •  , l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à  
  •  , l'opérateur linéaire quadrupolaire en  

On peut vérifier que   est de trace nulle :  .

Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante   du tenseur quadrupolaire est

 , où   est le symbole de Kronecker.

Développement quadrupolaireModifier

Théorème :

 , avec  

En gravimétrie, ce théorème s'appelle théorème de Mac Cullagh.

Cas particulier : axe de symétrieModifier

Lorsque   possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifient et   est diagonale.

Si on suppose la symétrie autour de l'axe  , alors la matrice des moments est   et  .

Si   n'est pas nul, on choisit   en  , et alors :

 , avec   (2e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas,   < 0 ; l'usage est de poser  .

Le potentiel terrestre est ainsi  .

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en   (octupolaire),  , etc.).

Articles connexesModifier