Problème des sept ponts de Königsberg

Le problème des sept ponts de Königsberg est connu pour être à l'origine de la topologie et de la théorie des graphes. Résolu par Leonhard Euler en 1735[1], ce problème mathématique se présente de la façon suivante :

Konigsberg bridges.png7 bridges.svgKönigsberg graph.svg

La ville de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad) est construite autour de deux îles situées sur le Pregel et reliées entre elles par un pont. Six autres ponts relient les rives de la rivière à l'une ou l'autre des deux îles, comme représentés sur le plan ci-dessus. Le problème consiste à déterminer s'il existe ou non une promenade dans les rues de Königsberg permettant, à partir d'un point de départ au choix, de passer une et une seule fois par chaque pont, et de revenir à son point de départ, étant entendu qu'on ne peut traverser le Pregel qu'en passant sur les ponts.

Résolution du problèmeModifier

Une telle promenade n'existe pas, et c'est Euler qui donna la solution de ce problème en caractérisant les graphes que l'on appelle aujourd'hui « eulériens » en référence à l'illustre mathématicien, à l'aide d'un théorème dont la démonstration rigoureuse ne fut en fait publiée qu'en 1873, par Carl Hierholzer.

Ce problème n'a sous cette forme non généralisée qu'un intérêt historique, car pour ce cas, il est assez intuitif de démontrer que la promenade demandée n'existe pas. Pour voir cela, il suffit d'associer un graphe à la ville comme dans la figure ci-dessus et de supposer que la promenade recherchée existe. On peut alors, à partir de la promenade, ordonner les sept arêtes du graphe de façon que deux arêtes consécutives par rapport à notre ordre soient adjacentes dans le graphe (en considérant que la dernière et la première arête sont consécutives, puisqu'il y a retour au point de départ).

Ainsi tout sommet du graphe est-il nécessairement incident à un nombre pair d'arêtes (puisque s'il est incident à une arête il est aussi incident à l'arête précédente ou qui lui succède dans l'ordre). Mais le graphe a des sommets qui sont incidents à trois arêtes, d'où l'impossibilité.

Notons que même si on renonce à exiger le retour au point de départ, une promenade traversant une et une seule fois chaque pont n'existe pas. Elle existerait si au plus deux sommets du graphe, correspondant aux points à choisir respectivement comme départ et arrivée, étaient incidents à un nombre impair d'arêtes, or les sommets du graphe des ponts de Königsberg sont tous les quatre dans ce cas ; la promenade est donc impossible. Il suffirait cependant de supprimer ou de rajouter un pont quelconque pour que le graphe modifié permette des promenades tous ponts sans retour (seuls deux sommets restant d'incidence impaire). Et ce sont au moins deux ponts, bien choisis, qu'il faudrait ajouter ou retirer pour permettre la promenade avec retour initialement cherchée.

Une autre façon intuitive de considérer ce problème, sans recourir à la théorie des graphes, est de considérer que pour parcourir tous les ponts, il faudra entrer et sortir à nouveau de chaque île (ou rive). Ainsi sur chaque île durant le parcours entier, il y aura autant de ponts d'entrée que de ponts de sortie, avec les deux ensembles de ponts séparés. Sinon chaque île (ou rive) ne pourrait être qu'un lieu de départ ou qu'un lieu d'arrivée et le circuit ne pourrait pas être refermé sans passer à nouveau par un des ponts déjà empreintés sur le reste du parcours. Chaque île (ou rive) doit donc avoir un nombre pair de ponts qui la relient aux autres îles ou rives. Dans l'exemple de Königsberg, une telle solution n'existe pas puisque par exemple l'île de l'ouest a cinq ponts, qu'on ne peut pas diviser en deux ensembles égaux de ponts d'entrée ou de sortie. De même pour la rive nord avec trois ponts (non pair), la rive sud avec trois ponts également et l'île de l'est, avec trois points également.

Enfin on peut noter que si un tel parcours existe (nombre pair de ponts sur chaque île ou rive), il n'y a pas nécessairement de solution unique puisqu'on peut appairer chaque pont d'entrée avec n'importe quel des ponts de sortie. Une solution unique (au sens de parcours près) n'existe que s'il y a seulement deux ponts sur chaque île (ou rive), le graphe d'adjacence étant alors réduit à un cercle unique passant par tous les ponts. On peut cependant toujours trouver des solutions imposant de ne jamais croiser son chemin lors du parcours : il suffit d'appairer les ponts successifs le long de la rive. Mais là encore la solution n'est pas unique (au sens de parcours près), s'il y a plus de deux ponts entrant ou sortant d'une même île (ou rive du fleuve).

La parité du nombre de ponts reliant chaque île ou rive aux autres n'impose cependant pas la parité du nombre total de ponts reliant l'ensemble des îles (ou rives). Par exemple avec une ville portuaire sur une île formant un delta à l'embouchure maritime d'un fleuve et le long de ses rives, une solution existe avec seulement trois ponts : un pont relie l'île à une rive au-dessus de chacun des deux bras du delta et un troisième pont relie les deux rives du fleuve avant le delta. Le même cas à trois ponts s'applique également à une ville centrée sur une île fluviale unique : un pont relie l'île au-dessus de chacun des deux bras du fleuve et un autre pont relie directement les deux rives du fleuve en amont ou en aval de l'île.

Notes et référencesModifier

  1. Jean-Gabriel Ganascia, Le Petit Trésor : dictionnaire de l'informatique et des sciences de l'information, Flammarion, (lire en ligne).

BibliographieModifier

  • (la) Leonhard Euler, « Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis », dans Mémoires de l'Académie des sciences de Berlin, (lire en ligne [PDF])
  • Édouard Lucas, Récréations mathématiques : Les traversées, les ponts, les labyrinthes les reines, le solitaire, la numération, le baguenaudier, le taquin, Paris, Gauthier Villars, (lire en ligne)
    Le problème des sept ponts fait l'objet de la « récréation no 2 » sous le titre « Les ponts de Paris en 1880 ».
    lire en ligne sur Gallica

Articles connexesModifier

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