Polynôme de Zernike

Polynôme de Zernike

Les polynômes de Zernike sont une suite de polynômes orthogonaux à 2 variables définis sur le disque unité. Ils portent le nom de Frits Zernike ; ils jouent un rôle important en imagerie.

Tracés des 21 premiers polynômes de Zernike sur le disque unité, classés verticalement par degré radial et horizontalement par degré azimutal

Définition des polynômes modifier

Les polynômes de Zernike peuvent se décomposer en fonctions paires et impaires. Les fonctions paires sont :

 

et les fonctions impaires sont :

 

m et n sont des nombres entiers naturels non nuls, avec nm, φ est l'angle d'azimut exprimé en radians, et ρ est la distance radiale normalisée. Les polynômes radiaux Rm
n
sont définis tels que :

 

ou

 

pour nm pair, et sont égaux à 0 pour nm impair.

Pour m = 0, le polynôme se réduit à R0
n
(ρ)
.

Interprétation en imagerie modifier

Si l’on considère une onde lumineuse ayant traversé un système imparfait, le front d’onde en sortie du système n’est pas totalement plat : on définit la fonction de déphasage Φ qui à tout point d’un plan de front associe le déphasage entre l’onde lumineuse théorique dans le modèle de l’optique géométrique et l’onde lumineuse réelle en tenant compte des défauts, et qui serait égale à la fonction nulle si le système était parfait.

Il est alors possible d’approximer cette phase dite aberrante en tant que combinaison linéaire de polynômes de Zernike, chacun des polynômes de la base considérée correspondant à une catégorie d’aberration différente.

Ainsi, en optique adaptative, il est possible d’utiliser un analyseur de front d’onde couplé à un système informatique capable de calculer Φ et sa décomposition en polynômes de Zernike en temps réel afin de connaître à tout instant la nature des aberrations du système étudié et éventuellement de les corriger à l’aide d’un miroir déformable (système en boucle fermée).

Cas particuliers modifier

Polynômes radiaux modifier

Les premiers polynômes radiaux sont (avec l’aberration géométrique associée) :

  : piston, correspondant à une image parfaite ;
  : inclinaison sur l’axe des abscisses (tilt X) ou des ordonnées (tilt Y) ;
  : erreur de mise au point ou de focalisation ;
  : astigmatisme à 0 (sur X) ou π/2 (sur Y) radians ;
  : aberration de coma ;
  ;
  : aberration de sphéricité ;
  ;
  ;
  ;
  ;
  ;
  ;
  ;
  ;
 .

Polynômes de Zernike modifier

Les premiers modes de Zernike, avec les indices simples OSA/ANSI et Noll, sont présentés ci-dessous. Ils sont normalisés de telle sorte que :  .

  Indices
OSA/ANSI
( )
Indice
Noll
( )
Indice
Wyant( )
Indice
Fringe/UA
( )
Degré radial
( )
Degré azimutal
( )
  Nom classique
  00 01 00 01 0 00   Piston (voir loi du demi-cercle)
  01 03 02 03 1 −1   Tilt (Y-Tilt, tilt vertical)
  02 02 01 02 1 +1   Tip (X-Tilt, tilt horizontal)
  03 05 05 06 2 −2   Astigmatisme oblique
  04 04 03 04 2 00   Defocus (direction longitudinale)
  05 06 04 05 2 +2   Astigmatisme vertical
  06 09 10 11 3 −3   Trefoil vertical
  07 07 07 08 3 −1   Coma verticale
  08 08 06 07 3 +1   Coma horizontale
  09 10 09 10 3 +3   Trefoil oblique
  10 15 17 18 4 −4   Quadrafoil oblique
  11 13 12 13 4 −2   Astigmatisme oblique secondaire
  12 11 08 09 4 00   Aberration de sphéricité
  13 12 11 12 4 +2   Astigmatisme vertical secondaire
  14 14 16 17 4 +4   Quadrafoil vertical

Application à la conception optique modifier

Les polynômes de Zernike sont utilisés notamment dans les aberromètres, afin de mesurer les aberrations optiques de l'œil humain (dont, entre autres, l'astigmatisme)[1],[2].

Notes et références modifier

  1. (en) RA Applegate, Thibos, LN et Hilmantel, G, « Optics of aberroscopy and super vision. », Journal of cataract and refractive surgery, vol. 27, no 7,‎ , p. 1093–107 (PMID 11489582, DOI 10.1016/s0886-3350(01)00856-2)
  2. (en) LN Thibos, Applegate, RA, Schwiegerling, JT et Webb, R, « Report from the VSIA taskforce on standards for reporting optical aberrations of the eye. », Journal of refractive surgery (Thorofare, N.J. : 1995), vol. 16, no 5,‎ sep–oct 2000, S654-5 (PMID 11019893)

Annexes modifier

Bibliographie modifier

Articles connexes modifier

Liens externes modifier