Polynôme de Bernoulli
En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler.
Définition modifier
Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes telle que :
Fonctions génératrices modifier
La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est
- .
La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est
- .
Les nombres d'Euler et de Bernoulli modifier
Les nombres de Bernoulli sont donnés par .
Les nombres d'Euler sont donnés par .
Expressions explicites pour les petits ordres modifier
Les premiers polynômes de Bernoulli sont : |
Les quelques premiers polynômes d'Euler sont : |
Propriétés des polynômes de Bernoulli modifier
Différences modifier
Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul ombral utilisé par Édouard Lucas, par exemple.
Dérivées modifier
Translations modifier
Symétries modifier
Autres propriétés modifier
Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité : ou, plus simplement, de la somme télescopique
.
Valeurs particulières modifier
Les nombres sont les nombres de Bernoulli.
Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :
Série de Fourier modifier
La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet, donnée par le développement[1] :
- ,
valide seulement pour 0 ≤ x ≤ 1 lorsque n ≥ 2 et pour 0 < x < 1 lorsque n = 1.
C'est un cas particulier de la formule de Hurwitz.
Notes et références modifier
- (en) Tsuneo Arakawa, Tomoyoshi Ibukiyama et Masanobu Kaneko, Bernoulli Numbers and Zeta Functions, Springer, (lire en ligne), p. 61.
Voir aussi modifier
Bibliographie modifier
- (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), chap. 23
- (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, 1976, Springer-Verlag, New York, chap. 12.11