4-polytope uniforme

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Un 4-polytope uniforme est, en géométrie, un 4-polytope isogonal dont les cellules sont des polyèdres uniformes. Il s'agit de l'équivalent de ces derniers en dimension 4.

4-polytopes uniformes convexesModifier

DénombrementModifier

Si on ne compte pas l'ensemble infini des duoprismes et des hyperprismes antiprismatiques, il existe 64 4-polytopes uniformes convexes :

  • 4-polytopes non-prismatiques :
    • 9 de groupe de Coxeter A4 ;
    • 9 de groupe de Coxeter F4 ;
    • 15 de groupe de Coxeter B4 (dont 3 sont également compris dans la famille précédente) ;
    • 15 de groupe de Coxeter H4 ;
    • 1 forme adoucie spéciale dans le groupe F4 ;
    • 1 4-polytope spécial, le grand antiprisme ;
  • Prismes polyédriques :

Les autres formes convexes sont générées par deux ensembles prismatiques infinis :

A4Modifier

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est A4 sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 5-cellules (ou pentachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
5-cellules {3,3,3}         5 10 10 5
5-cellules rectifié t1{3,3,3}         10 30 30 10
5-cellules tronqué t0,1{3,3,3}         10 30 40 20
5-cellules biseauté t0,2{3,3,3}         20 80 90 30
5-cellules augmenté t0,3{3,3,3}         30 70 60 20
5-cellules bitronqué t1,2{3,3,3}         10 40 60 30
5-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{3,3,3}         20 80 120 60
5-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,3,3}         30 120 150 60
5-cellules omnitronqué t0,1,2,3{3,3,3}         30 150 240 120

BC4Modifier

CaractéristiquesModifier

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est BC4 sont au nombre de 15.

8-cellulesModifier

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 8-cellules (ou tesseract).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
8-cellules {4,3,3}         8 24 32 16
8-cellules rectifié t1{4,3,3}         24 88 96 32
8-cellules tronqué t0,1{4,3,3}         24 88 128 64
8-cellules biseauté t0,2{4,3,3}         56 248 288 96
8-cellules augmenté
(16-cellules augmenté)
t0,3{4,3,3}         80 208 192 64
8-cellules bitronqué
(16-cellules bitronqué)
t1,2{4,3,3}         24 120 192 96
8-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{4,3,3}         56 248 384 192
8-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{4,3,3}         80 368 480 192
8-cellules omnitronqué
(16-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{4,3,3}         80 464 768 384

16-cellulesModifier

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 16-cellules (ou hexadécachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
16-cellules {3,3,4}         16 32 24 8
16-cellules rectifié
(24-cellules)
t1{3,3,4}         24 96 96 24
16-cellules tronqué t0,1{3,3,4}         24 96 120 48
16-cellules biseauté
(24-cellules rectifié)
t0,2{3,3,4}         48 240 288 96
16-cellules augmenté
(8-cellules augmenté)
t0,3{3,3,4}         80 208 192 64
16-cellules bitronqué
(8-cellules bitronqué)
t1,2{3,3,4}         24 120 192 96
16-cellules biseauté-tronqué
(24-cellules tronqué)
t0,1,2{3,3,4}         48 240 384 192
16-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,3,4}         80 368 480 192
16-cellules omnitronqué
(8-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{3,3,4}         80 464 768 384

F4Modifier

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est F4 sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 24-cellules (ou icositétrachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
24-cellules
(16-cellules rectifié)
{3,3,4}         24 96 96 24
24-cellules rectifié
(16-cellules biseauté)
t1{3,3,4}         48 240 288 96
24-cellules tronqué
(16-cellules biseauté-tronqué)
t0,1{3,3,4}         48 240 384 192
24-cellules biseauté t0,2{3,3,4}         144 720 864 288
24-cellules augmenté t0,3{3,3,4}         240 672 576 144
24-cellules bitronqué t1,2{3,3,4}         48 336 576 288
24-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{3,3,4}         144 720 1 152 576
24-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,3,4}         240 1 104 1 440 576
24-cellules omnitronqué t0,1,2,3{3,3,4}         240 1 392 2 304 1 152
24-cellules biseauté-tronqué alterné
(24-cellules adouci)
h0,1,2{3,3,4}         144 480 432 96

H4Modifier

CaractéristiquesModifier

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est H4 sont au nombre de 15.

120-cellulesModifier

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 120-cellules (ou hécatonicosachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
120-cellules {5,3,3}         120 720 1 200 600
120-cellules rectifié t1{5,3,3}         720 3 120 3 600 1 200
120-cellules tronqué t0,1{5,3,3}         720 3 120 4 800 2 400
120-cellules biseauté t0,2{5,3,3}         1 920 9 120 10 800 3 600
120-cellules augmenté
(600-cellules augmenté)
t0,3{5,3,3}         2 640 7 440 7 200 2 400
120-cellules bitronqué
(600-cellules bitronqué)
t1,2{5,3,3}         720 4 320 7 200 3 600
120-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{5,3,3}         1 920 9 120 14 400 7 200
120-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{5,3,3}         2 640 13 440 18 000 7 200
120-cellules omnitronqué
(600-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{5,3,3}         2 640 17 040 28 800 14 400

600-cellulesModifier

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 600-cellules (ou hexacosichore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
600-cellules {3,3,5}         600 1 200 720 120
600-cellules rectifié t1{3,3,5}         720 3 600 3 600 720
600-cellules tronqué t0,1{3,3,5}         720 3 600 4 320 1 440
600-cellules biseauté t0,2{3,3,5}         1 440 8 640 10 800 3 600
600-cellules augmenté
(120-cellules augmenté)
t0,3{3,3,5}         2 640 7 440 7 200 2 400
600-cellules bitronqué
(120-cellules bitronqué)
t1,2{3,3,5}         720 4 320 7 200 3 600
600-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{3,3,5}         1 440 8 640 14 400 7 200
600-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,3,5}         2 640 13 440 18 000 7 200
600-cellules omnitronqué
(120-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{3,3,5}         2 640 17 040 28 800 14 400

D4Modifier

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le demitesseract. Ils sont déjà présents dans les autres constructions, mais sont indiqués ici pour mention de leur construction alternative.

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
Demitesseract
(16-cellules)
{3,3,5}       16 32 24 8
Demitesseract rectifié
(16-cellules tronqué)
t1{3,3,5}       48 240 288 96
Demitesseract tronqué
(8-cellules rectifié)
t0,1{3,3,5}       24 96 120 48
Demitesseract biseauté
(8-cellules bitronqué)
t0,2{3,3,5}       24 88 96 32
Demitesseract biseauté-tronqué
(24-cellules)
t0,1,2{3,3,5}       24 96 96 24
Demitesseract augmenté-biseauté
(16-cellules biseauté)
t0,2,3{3,3,5}       24 120 192 96
Demitesseract omnitronqué
(16-cellules biseauté-tronqué)
t0,1,2,3{3,3,5}       48 240 384 192
Demitesseract adouci
(24-cellules adouci)
s{3,3,5}       144 480 432 96

Here again the snub 24-cell represents an alternated truncation of the truncated 24-cell, creating 96 new tetrahedra at the position of the deleted vertices. In contrast to its appearance within former groups as partly snubbed polychoron, only within this symmetry group it has the full analogy to the Kepler snubs, i.e. the snub cube and the snub dodecahedron.

Grand antiprismeModifier

Le grand antiprisme comprend 20 antiprismes pentagonaux formant deux anneaux perpendiculaires, reliés par 300 tétraèdres.

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
Grand antiprisme aucun aucun 320 720 500 100

PrismesModifier

AnnexesModifier

Liens internesModifier

Liens externesModifier

RéférencesModifier