Théorème de Feuerbach

dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits
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En mathématiques, le théorème de Feuerbach, du nom du mathématicien Karl Feuerbach, affirme que dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits. Les points de contact sont appelés points de Feuerbach du triangle.

Triangle de Feuerbach.

Points de FeuerbachModifier

Les trois points de tangence   des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle ABC.

 
Alignement du point de Feuerbach inscrit avec les centres des cercles.

Le point de Feuerbach Fe, point de contact du cercle d'Euler et du cercle inscrit, est situé sur la droite des centres (IJ) ; I et J centres des cercles inscrit et d'Euler.

Soit S le point de concours des droites  . Alors les points S, I , le centre du cercle d'Euler et le point de Feuerbach Fe sont alignés et en division harmonique .

 
Le point S, les centres I et J et le point de Feuerbach Fe sont alignés.

Le point de Feuerbach Fe appartient aussi au cercle circonscrit du triangle cévien du centre I du cercle inscrit.

 
Le cercle, circonscrit au triangle formé par les pieds des bissectrices, passe par le point de Feuerbach.

Six autres droites concourantes au point de FeuerbachModifier

Trois droites symétriques des côtés du triangle de contact

Soit O le centre du cercle circonscrit et iA, iB, iC les points de contact du triangle ABC avec son cercle inscrit.

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de contact iAiBiC, passent par le point de Feuerbach.

Trois droites symétriques des côtés du triangle de Feuerbach

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de Feuerbach  , passent par le point de Feuerbach.

Théorème de Feuerbach-Ayme dans un triangle rectangleModifier

 
Le cercle de diamètre [OBOC] passe par le point de Feuerbach.

Soit ABC un triangle rectangle en A, H le pied de la hauteur de ABC sur (BC), OB et OC les centres des cercles inscrits dans les triangles AHB et AHC, et F0 le point de Feuerbach inscrit du triangle ABC ; alors les droites (C’OB) et (B’OC) sont orthogonales et se coupent au point de Feuerbach. Le cercle de diamètre [OBOC] passe par F0.

Remarque : outre le point de Feuerbach, le cercle de diamètre [OBOC] contient le pied H de la hauteur issue de A, le point de contact du cercle inscrit dans ABC avec le côté (BC) et les points d'intersection des bissectrices des angles aigus B et C avec la droite des centres (B’C’). Ces deux derniers points sont aussi situés sur les bissectrices en A des triangles AHB et AHC.

Liens externes

BibliographieModifier