Planche de Tychonoff

En mathématiques, la planche de Tychonoff — nommée d'après Andreï Nikolaïevitch Tikhonov — est un espace topologique utilisé comme contre-exemple[1]. C'est le produit [0, ω1]×[0, ω] de deux espaces topologiques associés à des ordinaux, où ω désigne le premier ordinal infini et ω1 le premier ordinal non dénombrable.

La planche de Tychonoff épointée est le sous-espace obtenu en enlevant le point = (ω1, ω). C'est un espace non normal[2], bien que localement compact donc complètement régulier.

Par conséquent, la planche de Tychonoff n'est pas complètement normale ; c'est pourtant un espace compact donc normal[3].

La planche de Tychonoff n'est pas parfaitement normale (puisqu'elle n'est pas complètement normale, ou encore, puisque le singleton {} est fermé mais n'est pas un Gδ).

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tychonoff plank » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, , 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne).
  2. (en) Margherita Barile, « Tychonoff Plank », sur MathWorld.
  3. (en) James Dugundji, Topology, Allyn & Bacon, , 447 p. (ISBN 978-0-697-06889-7, lire en ligne [PDF]), p. 145-146.