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En mathématiques financières élémentaires, un plan de remboursement détermine, lors d'un emprunt à mensualités constantes, les relations existant entre le capital emprunté, le taux d'intérêt, le montant des remboursements et la durée de l'emprunt.

Sommaire

Mise en place mathématiqueModifier

Un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités constantes M conduit à la construction d'une suite arithmético-géométrique. Si   représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite   est définie par la relation de récurrence :

 .

En effet, comme toute dette, durant un mois, le capital   va augmenter de   si t est le taux d'intérêt mensuel. Comme, au bout d'un mois, il intervient un remboursement d'un montant M, le capital restant dû à l'issue du n + 1e mois est donc  .

Une première remarque de bon sens consiste à dire que les mensualités doivent être supérieures à   donc en particulier à  , pour avoir une chance de voir la dette diminuer.

VariablesModifier

  • C : capital emprunté
  • t : taux de la période
  • M : montant de l'échéance
  • n : nombre d'échéances

Les formulesModifier

Une étude de la suite arithmético-géométrique permet de donner   en fonction de C, M, n et t.

 

Comme le but est de rembourser la somme au bout de N mensualités, la relation existant entre C, M, t et N est donc:

 

Nombre d'échéancesModifier

On peut en déduire, en fonction de M/C et t, le nombre de mensualités nécessaires:

 .
Exemple: si on emprunte 1 000 euros à 0,5 % d'intérêts mensuels (approximativement 6 % d'intérêts annuels) et que l'on rembourse 10 euros par mois, il faut
  mensualités ou   mensualités

Soit 11 ans et 7 mois.

Montant de l'échéanceModifier

On peut aussi déterminer, en fonction de la durée de l'emprunt, le montant des mensualités:

 

On préfère souvent parler en nombre d'années A et en taux annuel  . Pour des taux faibles (voir suite géométrique), on peut utiliser l'approximation suivante   et on obtient alors la formule suivante

 
Exemple une somme de 1000 euros, empruntée sur 10 ans, donc 120 mois, à un taux annuel de 4,8 % nécessite un remboursement mensuel de
  euros.

Capital empruntéModifier

Il est possible de déterminer le montant du capital emprunté en fonction de la durée de l'emprunt, du taux et du montant des échéances :

 

On peut enfin déterminer la somme réellement remboursée, en fonction de la somme empruntée C, de la durée de l'emprunt N en mois et du taux d'intérêt mensuel t.

 
Dans l'exemple précédent, la somme réellement remboursée est de 1 261 euros.

Tableau de remboursementModifier

Quand sont décidés la somme empruntée, le taux d'intérêt et la durée du prêt, le montant des mensualités est alors fixé. On présente alors un tableau qui précise, mois par mois, le capital restant dû et la part, dans le remboursement, du remboursement des intérêts et de l'amortissement. Ce tableau permet de connaître, à tout instant, l'état de son compte et la somme à payer en cas de remboursement anticipé.

Exemple avec une somme empruntée de 1 000 euros, une durée du prêt de 10 ans, un taux d'intérêt à 4,8 % et un taux mensuel à 0,4 % :

[PREMIÈRE VERSION] - Plan de remboursement réalisé sur tableur.
A B C D E F
1 Mois Capital du Intérêts remboursés Capital remboursé Taux 0,004
2 1 1000,00€ 4,00 € 6,51 € Mensualités 10,51€
3 2 993,49 € 3,97 € 6,54 €
4 3 986,95 € 3.95 € 6,56 €
5 4 980,39 € 3,92 € 6,59 €
6 5 973,80 € 3,90 € 6,61€
7 6 967,19 € 3,87 € 6,64€
... ... ... ... ...
122 120 10,32 € 0,04 € 10,47 €
Dans la cellule B3 est rentrée la formule "=B2*(1+$F$1)-$F$2"
Dans la cellule C2 est rentrée la formule "=B2*$F$1"
Dans la cellule D2 est rentrée la formule "=B2-B3"
[DEUXIÈME VERSION] - Plan de remboursement réalisé sur tableur.
A B C D E F
1 Montant : 1000,00€
2 Taux : 4,80% Taux mensuel : 0,40%
3 Nb périodes : 120
4 Mensualités : 10,51€
5
6 Mois Base Intérêt Amortissement Mensualités Valeur Fin
7 Janvier 1000,00€ 4,00€ 6,51€ 10,51€ 993,49€
8 Février 993,49€ 3,97€ 6,54€ 10,51€ 986.96€
9 Mars 986,96€ 3,95€ 6,56€ 10,51€ 980,39€
10 Avril 980,39€ 3,92€ 6,59€ 10,51€ 973,81€
11 Mai 973,81€ 3,90€ 6,61€ 10,51€ 967,19€
12 Juin 967,19€ 3,87€ 6,64€ 10,51€ 960,55€
... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
125 novembre 20,89€ 0,08€ 10,43€ 10,51€ 10,47€
126 décembre 10,47€ 0,04€ 10,47€ 10,51€ 0,00€
Dans la cellule B4 est rentrée la formule "=B1*D2/(1-(1+D2)^-B3)"
Dans la cellule D2 est rentrée la formule "=B2/12"
Dans la cellule B7 est rentrée la formule "=$B$1"
Dans la cellule C7 est rentrée la formule "=B7*$D$2" (À étirer jusqu'en bas)
Dans la cellule D7 est rentrée la formule "=E7-C7" (À étirer jusqu'en bas)
Dans la cellule E7 est rentrée la formule "=$B$4" (À étirer jusqu'en bas)
Dans la cellule F7 est rentrée la formule "=B7-D7" (À étirer jusqu'en bas)
Dans la cellule B8 est rentrée la formule "=F7" (À étirer jusqu'en bas)

Liens externesModifier