Opérateur monotone

En mathématiques, un opérateur monotone est une multifonction définie entre espaces préhilbertiens, ou plus généralement d'un espace de Banach dans son dual topologique, qui possède une propriété de monotonie que nous précisons dans les définitions ci-dessous. Lorsque cet opérateur est une « simple » fonction réelle d'une variable réelle, cette propriété de monotonie revient à supposer la croissance (non nécessairement stricte) de cette fonction. Lorsque cet opérateur est une application linéaire (non nécessairement autoadjointe), cette propriété de monotonie revient à supposer la semi-définie positivité de l'application.

Parmi les opérateurs monotones, il faut distinguer ceux que l'on qualifie de monotones maximaux. Ils possèdent une propriété de maximalité qui s'exprime en termes d'inclusion de graphe et qui leur donne des propriétés remarquables. Ainsi, pour un opérateur monotone , l'inclusion fonctionnelle

dans laquelle est un ensemble, a au plus une solution , alors que si monotone maximal, cette inclusion a une et une seule solution.

Exemples.
  • Soient un espace de Banach, l'ensemble de ses parties et une fonction convexe propre. Alors l'application sous-différentiel de , , est un opérateur monotone (on dit qu'il « dérive du potentiel  ») ; il est monotone maximal si est fermée[1].
  • Si est un espace de Hilbert, la multifonction cône normal à un convexe  : est un opérateur monotone. C'est un cas particulier du précédent, puisque le cône normal est le sous-différentiel de la fonction indicatrice de (une fonction convexe lorsque est convexe). Elle est monotone maximale si est fermé.
  • Le projecteur sur un convexe fermé non vide d'un espace de Hilbert est monotone.

MultifonctionModifier

Soient   et   deux ensembles. Une fonction multivaluée, ou multifonction   est une application de   dans l'ensemble   des parties de  . Son graphe, son domaine, son image et sa réciproque sont notés respectivement  ,  ,   et  .

Si   est un espace vectoriel, l'ensemble de ses parties hérite naturellement d'une loi externe et d'une addition (la somme de Minkowski), dont hérite à son tour l'ensemble des multifonctions de   dans  .

Opérateur monotoneModifier

Soit   un espace préhilbertien dont le produit scalaire est noté   et la norme associée  .

Opérateurs monotones — Une multifonction   est dite :

  • monotone si
      ;
  • strictement monotone si l'inégalité ci-dessus est stricte lorsque   ;
  • fortement monotone de module   si
     .

Propriétés immédiates — Soit   un opérateur monotone.

  1. Si   est un réel positif et  ,   est monotone.
  2.   est monotone.
  3. Si   est monotone, alors   est monotone.

On peut exprimer la propriété de monotonie en utilisant uniquement la norme associée au produit scalaire de  [2]. Les opérateurs vérifiant cette propriété sur un espace normé sont dits accrétifs.

Monotonie et accrétivité — Pour une multifonction  , les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1.   est monotone,
  2.   est accrétif, c'est-à-dire : pour tout  , pour tout   et pour tout  , on a

 

Par la propriété d'accrétivité, on voit que si   est monotone, l'inclusion

 

a au plus une solution  . Pour les opérateurs monotones maximaux, cette inclusion aura une et une seule solution.

Opérateur monotone maximalModifier

DéfinitionModifier

Opérateur monotone maximal — On dit qu'un opérateur   est monotone maximal s'il est monotone et s'il n'existe pas d'opérateur monotone   tel que   est strictement inclus dans  . Une autre manière d'exprimer la maximalité d'un opérateur monotone   est la suivante

 

Le résultat de cette implication est donc que  , ce qui pourra parfois être interprété comme un résultat d'existence de solution d'inclusion (  est donné et il faut trouver  ). Pour prolonger la remarque faite ci-dessus, si la monotonie de   implique l'unicité de la solution   de l'inclusion

 

la maximalité d'un opérateur monotone permet de montrer l'existence de solution de cette inclusion.

Propriétés immédiates — Si   est un opérateur monotone maximal, alors

  • pour tout   strictement positif,   est monotone maximal,
  •   est monotone maximal,
  •   est fermé dans  ,
  • pour tout  ,   est un convexe fermé de  ,
  • pour tout  ,   est un convexe fermé de  .

Pour la somme de deux opérateurs monotones maximaux, voir la section qui est consacrée à ce thème difficile.

ExemplesModifier

  • Soient   un espace de Hilbert et   une fonction convexe fermée propre. Alors l'application sous-différentiel   est monotone maximale[3]. Le problème de trouver un   tel que   est équivalent à celui de trouver un point minimisant  .
  • Soient   un espace de Hilbert dont le produit scalaire est noté  ,   un convexe fermé non vide de  ,   est le cône normal à   en   et   un opérateur univoque monotone (non nécessairement maximal) hémicontinu contenant   dans son domaine. Alors   est monotone maximal[4]. Le problème de trouver un   tel que   est équivalent à celui de trouver une solution   du problème de l'inéquation variationnelle suivante :

     

CaractérisationsModifier

Voici des caractérisations bien utiles de la monotonie maximale d'un opérateur. On note   l'opérateur identité.

Caractérisation — Soient   un espace de Hilbert et   un opérateur. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1.   est monotone maximal,
  2.   est monotone et  ,
  3. pour tout  ,   est non expansif et  .

On note qu'un opérateur non expansif est nécessairement univoque[5]. La propriété   équivaut à dire que pour tout  ,   (c'est un singleton) ou encore que l'inclusion

 

a une (et une seule) solution  .

La résolvante d'un opérateur monotone maximal est l'application non expansive (donc univoque) suivante

 

La résolvante est définie sur   tout entier. De plus, si l'on introduit l'opérateur univoque  , on a

 

propriété équivalente à la suivante

 

Cette propriété exprime la ferme non-expansivité de la résolvante  .

Somme de deux opérateurs monotones maximauxModifier

Si la somme de deux opérateurs monotones est un opérateur monotone, la somme de deux opérateurs monotones maximaux n'est pas nécessairement un opérateur monotone maximal, ne fût ce que parce que l'intersection de leur domaine peut être vide (auquel cas le domaine de leur somme est vide). On a le résultat suivant[6], dans lequel   désigne l'intérieur d'une partie  ,   désigne son adhérence forte et   est dit localement borné en   s'il existe un voisinage   de   dont l'image   est bornée.

Somme de deux opérateurs monotones maximaux — Soient   un espace de Banach réflexif et  ,   deux opérateurs monotones maximaux vérifiant l'une des deux conditions équivalentes suivantes :

  1.  ,
  2. il existe un point de   en lequel   est localement borné.

Alors   est monotone maximal.

Résolution d'inclusion monotoneModifier

Soit   un opérateur monotone maximal. Cette section décrit quelques algorithmes de résolution de l'inclusion monotone

 

Il s'agit de trouver   tel que l'ensemble   de   contienne l'élément nul. Les descriptions sont brèves et renvoient aux articles dédiés aux algorithmes correspondants.

Algorithme proximalModifier

Voir

  • l'article « Algorithme proximal » pour le cas où   est monotone maximal et
  • l'article « Algorithme proximal (optimisation) » pour le cas particulier où   est le sous-différentiel d'une fonction convexe fermée propre.

Algorithme de Douglas-RachfordModifier

Il s'agit d'un algorithme adapté à la recherche d'un zéro de la somme   de deux opérateurs monotones maximaux   et  . On cherche donc   tel que

 

L'algorithme est bien adapté au cas où les points proximaux   et   d'un point   donné peuvent se calculer aisément.

Algorithme de Douglas-Rachford[7] — On se donne un itéré initial   et un scalaire  . L'algorithme définit une suite d'itérés  , jusqu'à ce qu'un test d'arrêt soit satisfait. Il passe de   à   par les étapes suivantes :

  1.  ,
  2.  ,
  3.  , où  .

On montre que la suite   générée par cet algorithme converge faiblement vers un point  , si   a un zéro et les amortisseurs   sont tels que

 

dans ce cas   est un zéro de  .

Opérateur monotone d'un espace de Banach dans son dual topologiqueModifier

Soit   un espace de Banach et   son dual topologique. Pour   et  , on pose :

 .

Un opérateur (non nécessairement linéaire)   de   dans   est dit monotone si[8] :

 .

AnnexesModifier

Notes et référencesModifier

  1. Ce résultat est dû à G. J. Minty (1964) si   est un espace vectoriel topologique et   est convexe, finie et continue. Il est dû à R. T. Rockafellar (1966, 1970b) lorsque   est un espace de Banach et   est convexe, propre et semi-continue inférieurement.
  2. Proposition 2.1 chez Brézis (1973)[réf. incomplète].
  3. La monotonie maximale du sous-différentiel d'une fonction convexe fermée propre est due à Minty (1964) et Moreau (1965).
  4. La monotonie maximale de l'opérateur servant à définir un problème d'inéquations variationnelles a été démontrée par Rockafellar (1970).
  5. Le fait que la résolvante soit définie partout et soit univoque remonte au moins à Minty (1962).
  6. Voir le théorème 1 chez Rockafellar (1970).
  7. L'algorithme est présenté dans l'article de Douglas et Rachford (1956).
  8. Brezis 1966.

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

  • (en) H. H. Bauschke et P. L. Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, 2011
  • (en) J. M. Borwein et Q. J. Zhu, Techniques of Variational Analysis, Société mathématique du Canada, Springer Science+Business Media, Berlin, 2010
  • Haïm R. Brezis, « Les opérateurs monotones », Séminaire Choquet — Initiation à l'analyse, t. 5, no 2 (1965-1966),‎ , article no 10 (lire en ligne)
  • (en) J. Douglas et H. H. Rachford, « On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables », Translations of the American Mathematical Society, vol. 82, 1956, p. 421-439
  • (en) G. J. Minty, « Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space », Duke Math. J., vol. 29, 1962, p. 341-346
  • (en) G. J. Minty, « On the monotonicity of the gradient of a convex function », Pac. J. Math., vol. 14, 1964, p. 243-247
  • J. J. Moreau, « Proximité et dualité dans un espace hilbertien », Bull. Soc. Math. Fr., vol. 93, 1965, p. 273-299
  • (en) R. R. Phelps, Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n° 1364), Springer-Verlag, Berlin, 1993
  • (en) R. T. Rockafellar, « Characterization of the subdifferentials of convex functions », Pac. J. Math., vol. 17, 1966, p. 497-510
  • (en) R. T. Rockafellar, « On the maximality of sums of nonlinear monotone operators », Translations of the American Mathematical Society, vol. 149, 1970, p. 75-88
  • (en) R. T. Rockafellar, « On the maximal monotonicity of subdifferential mappings », Pac. J. Math., vol. 33, 1970b, p. 209-216.
  • (en) R. T. Rockafellar et R. J.-B. Wets, Variational Analysis, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften » (n° 317), Springer-Verlag, Berlin, 1998