Nombre tétraédrique

En arithmétique géométrique, un nombre tétraédrique, ou nombre pyramidal triangulaire, est un nombre figuré qui peut être représenté graphiquement par une pyramide de base triangulaire, c'est-à-dire un tétraèdre, dont chaque couche représente un nombre triangulaire. Pour tout entier naturel $n$ non nul, le n-ième nombre pyramidal triangulaire, somme des $n$ premiers nombres triangulaires, est donné par les formules  :

Le 5^e nombre tétraédrique est 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35.

$P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={n+2 \choose 3},$

où ${i \choose j}$ est le symbole du coefficient binomial. Les nombres tétraédriques sont donc ceux de la quatrième colonne du triangle de Pascal.

Les nombres tétraédriques sont ceux de la colonne d'indice 3 du triangle de Pascal

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

Les dix premiers sont 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165 et 220.

Le 22^e est 2024.

Démonstration de la formule

Comme le k-ième nombre triangulaire est égal à ${k(k+1) \over 2}={\binom {k+1}{2}}$, on a, d'après la formule d'itération de Pascal :

$P_{n}^{(3)}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {k+1}{2}}=\sum _{k=2}^{n+1}{\binom {k}{2}}={n+2 \choose 3}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$.

Ceci est en fait un cas particulier de la construction des nombres simpliciaux ; Le nombre tétraédrique $P_{n}^{(3)}$ est le n-ième nombre 3-simplicial $S_{3}(n)$.

On peut aussi obtenir $P_{n}^{(3)}$ à partir de la formule générale des nombres polyédriques réguliers $P_{n+1}^{(3)}-P_{n}^{(3)}={\frac {d(k-2)^{2}(d-2)}{2D}}n^{2}+{\frac {d(k-2)}{2}}n+1$ où $k=d=3,D=2(k+d)-kd=3$, qui donne $P_{n+1}^{(3)}-P_{n}^{(3)}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$, puis $P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$.

Propriétés

La suite d'entiers $(P_{n}^{(3)})$, réduite modulo 2, est de période 4.

Les seuls nombres tétraédriques carrés sont P₁⁽³⁾ = 1 = 1², P₂⁽³⁾ = 4 = 2² et P₄₈⁽³⁾ = 19 600 = 140².

Le seul nombre tétraédrique pyramidal carré est 1.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tetrahedral number » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Conjectures de Pollock
• Empilement compact