Nombre carré triangulaire

nombre figuré
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En mathématiques, un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré. Il y a une infinité de tels nombres.

Ils s'écrivent sous la forme[1]

DémonstrationModifier

Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante[1].

Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = s2, c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat

 

Les solutions sont données par

 

soit

 

On trouve donc

 

d'où la valeur annoncée pour Nk = sk2.

Observations numériquesModifier

k Nk sk tk tk/sk
1 1 1 1 1
2 36 6 8 1,3…
3 1 225 35 49 1,4
4 41 616 204 288 1,411…
5 1 413 721 1 189 1 681 1,413…
6 48 024 900 6 930 9 800 1,4141…
7 1 631 432 881 40 391 57 121 1,41420…
8 55 420 693 056 235 416 332 928 1,414211…
9 1 882 672 131 025 1 372 105 1 940 449 1,4142132…

(voir la suite A001110 de l'OEIS pour quelques valeurs suivantes de Nk).

Lorsque k tend vers l'infini, le rapport

 

tend vers la racine carrée de deux et

 

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Triangular square number » (voir la liste des auteurs)

, renommé « Square triangular number » en août 2005.