Nombre premier régulier

En mathématiques, un nombre premier est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer en 1847, en vue de démontrer le « dernier théorème de Fermat »[1], dans un article intitulé « Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von für eine unendliche Anzahl Primzahlen  ».

Définitions

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Un nombre premier impair p est dit régulier s'il ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique  , où   est une racine primitive  -ième de l'unité.

Une manière de tester la régularité en pratique est donnée par le critère de Kummer : p est régulier si et seulement s'il ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli Bk, pour   prenant les valeurs paires entre   et  .

Un nombre premier irrégulier est un nombre premier impair non régulier[2]. Les nombres premiers irréguliers forment la suite A000928 de l'OEIS : 37, 59, 67, 101etc., les réguliers formant la suite  A007703.

Il existe une infinité de nombres premiers irréguliers. Plus précisément, un théorème de Metsänkylä (fi)[3] assure que pour tout sous-groupe propre   du groupe des unités de l'anneau ℤ/n, il existe une infinité de nombres premiers irréguliers dont la classe modulo   n'appartient pas à  .

En revanche, l'existence d'une infinité de nombres premiers réguliers reste une question ouverte[4].

Travaux de Kummer

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Le travail de Kummer permet précisément de montrer l'assertion suivante : si   est un nombre premier régulier, l'équation   n'a pas de solutions pour   et   entiers relatifs tous non divisibles par  . Le point central de l'argument, développé en termes modernes, est qu'une telle identité se factorise en :

 

dans le corps  . Cette égalité peut alors être interprétée comme une égalité entre le produit des idéaux   et l'idéal ( ) élevé à la puissance  . On peut montrer que les idéaux   sont premiers entre eux ; la théorie de la décomposition des idéaux premiers et celle des anneaux de Dedekind permettent d'assurer que chacun est la puissance  -ième d'un certain autre idéal   ; l'idéal   est principal, l'hypothèse que le nombre   est régulier — il n'est pas diviseur du nombre de classes de   — montre alors que l'idéal   lui-même est principal, ce qui fournit une égalité de la forme  , pour une certaine unité  . Quelques calculs permettent d'aboutir à une contradiction.


Notes et références

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  1. (en) Lawrence C. Washington, Introduction to cyclotomic fields, [détail de l’édition] (lire en ligne), notes du chapitre 1.
  2. 2 n'est donc ni régulier, ni irrégulier.
  3. Washington 1997, p. 84.
  4. En dépit du titre de l'article de Kummer.

Articles connexes

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