Nombre premier régulier
En mathématiques, un nombre premier est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer en 1847, en vue de démontrer le « dernier théorème de Fermat »[1], dans un article intitulé « Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von für eine unendliche Anzahl Primzahlen ».
Définitions
modifierUn nombre premier impair p est dit régulier s'il ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique , où est une racine primitive -ième de l'unité.
Une manière de tester la régularité en pratique est donnée par le critère de Kummer : p est régulier si et seulement s'il ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli Bk, pour prenant les valeurs paires entre et .
Un nombre premier irrégulier est un nombre premier impair non régulier[2]. Les nombres premiers irréguliers forment la suite A000928 de l'OEIS : 37, 59, 67, 101, etc., les réguliers formant la suite A007703.
Il existe une infinité de nombres premiers irréguliers. Plus précisément, un théorème de Metsänkylä (fi)[3] assure que pour tout sous-groupe propre du groupe des unités de l'anneau ℤ/nℤ, il existe une infinité de nombres premiers irréguliers dont la classe modulo n'appartient pas à .
En revanche, l'existence d'une infinité de nombres premiers réguliers reste une question ouverte[4].
Travaux de Kummer
modifierLe travail de Kummer permet précisément de montrer l'assertion suivante : si est un nombre premier régulier, l'équation n'a pas de solutions pour et entiers relatifs tous non divisibles par . Le point central de l'argument, développé en termes modernes, est qu'une telle identité se factorise en :
dans le corps . Cette égalité peut alors être interprétée comme une égalité entre le produit des idéaux et l'idéal ( ) élevé à la puissance . On peut montrer que les idéaux sont premiers entre eux ; la théorie de la décomposition des idéaux premiers et celle des anneaux de Dedekind permettent d'assurer que chacun est la puissance -ième d'un certain autre idéal ; l'idéal est principal, l'hypothèse que le nombre est régulier — il n'est pas diviseur du nombre de classes de — montre alors que l'idéal lui-même est principal, ce qui fournit une égalité de la forme , pour une certaine unité . Quelques calculs permettent d'aboutir à une contradiction.
Notes et références
modifier- (en) Lawrence C. Washington, Introduction to cyclotomic fields, [détail de l’édition] (lire en ligne), notes du chapitre 1.
- 2 n'est donc ni régulier, ni irrégulier.
- Washington 1997, p. 84.
- En dépit du titre de l'article de Kummer.